\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=>\(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> ab+b2+a2+ab ≥ 0
<=> a2+2ab+b2 ≥ 0
<=> (a+b)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi a,b)
=> đpcm
Cách khác đó là áp dụng bđt AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm a,b ta được
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
TT=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
Nhân vế theo vế ta được:\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)
Phạm Nguyễn Tất Đạt
1 dòng-nhanh-gọn-lẹ
Cauchy-Schwarz: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
