Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Họ Không

cho a>0, b>0 thoả mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2\)

tìm GTLN \(Q=\dfrac{1}{a^4+b^2+2ab^2}+\dfrac{1}{b^4+a^2+2a^2b}\)

Akai Haruma
28 tháng 10 2018 lúc 22:59

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(a^4+b^2\geq 2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)

\(\Rightarrow a^4+b^2+2ab^2\geq 2a^2b+2ab^2=2ab(a+b)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}\leq \frac{1}{2ab(a+b)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^4+a^2+2a^2b}\leq \frac{1}{2ab(a+b)}\)

Do đó: \(Q\leq \frac{1}{2ab(a+b)}+\frac{1}{2ab(a+b)}=\frac{1}{ab(a+b)}\)

Từ đk đầu tiên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=2\Rightarrow a+b=2ab\)

\(\Rightarrow Q\leq \frac{1}{2a^2b^2}\)

Theo BĐT Cô-si: \(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\Rightarrow ab\geq 1\)

\(\Rightarrow Q\leq \frac{1}{2(ab)^2}\leq \frac{1}{2.1^2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Q_{\max}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=1\)


Các câu hỏi tương tự
camcon
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Phương Anh Đỗ
Xem chi tiết