Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
➻❥Nguyễn❃Q.Anh✤

Cho a, b là số thực

CM :\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Nguyễn Việt Hoàng
26 tháng 6 2020 lúc 17:41

Ta có : \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )

\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Đõ Phương Thảo
26 tháng 6 2020 lúc 18:12

Ta có :a2+b2+1≥ab+a+b

⇔2a2+2b2+2≥ 2ab+2a+2b

⇔2a2+2b2+2-2ab-2a-2b≥0

⇔(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)≥0

⇔(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 (1)

Vì (a-b)≥0, ∀a,b.(2)

(a-1)2≥0, ∀a (3) (luôn đúng)

(b-1)2≥0, ∀b (4)

Từ (1), (2),(3),(4) ⇒ \(\left[{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy a2+b2+1≥ab+a+b khi a=b=1


Các câu hỏi tương tự
Tuna Ngô
Xem chi tiết
Vương Quốc Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Trân
Xem chi tiết
Tuan Minh Do Xuan
Xem chi tiết
Huỳnh Như
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Ely Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Trân
Xem chi tiết
Nguyễn Đình Thành
Xem chi tiết