Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Quốc Anh

Cho hai số a và b thỏa mãn a\(\ge\)1 và b\(\ge\)1. Chứng minh\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)

Nguyễn Tấn Tài
3 tháng 5 2017 lúc 18:36

Ta có \(a\ge1;b\ge1\Rightarrow a\cdot b\ge1\) (1)

\(\Rightarrow\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)>0\) (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{1+ab}\left(\dfrac{b^2\cdot a-a^2b-b+a}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{1+ab}\left(\dfrac{a}{1+a^2}-\dfrac{b}{1+b^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)}-\dfrac{b^2-ab}{\left(1+ab\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab-a^2+1-1}{\left(1+ab\right)\left(1+a^2\right)}-\dfrac{b^2-1-ab+1}{\left(1+ab\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\) (đpcm)


BW_P&A
3 tháng 5 2017 lúc 20:05

Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

P/S: x thay = a , y thay = b nha


Các câu hỏi tương tự
Thu Hà
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Trần Thiên Kim
Xem chi tiết
Quỳnh Hoa Lenka
Xem chi tiết
Duyên Trần
Xem chi tiết
Hồ Thu Giang
Xem chi tiết
Linh Trần Thị Mỹ
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Tuna Ngô
Xem chi tiết