Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bảo Trân

Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 3. CM :

B= \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Muốn Một Cái Tên Dài Như...
26 tháng 4 2019 lúc 21:05

\(3-B=\left(a-\frac{a}{1+b^2}\right)+\left(b-\frac{b}{1+c^2}\right)+\left(c-\frac{c}{1+a^2}\right)=\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{a^2}{1+a^2}\le\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}+\frac{a^2}{2a}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

=> \(B\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

Y
26 tháng 4 2019 lúc 22:10

\(B=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}+\frac{b\left(c^2+1\right)-bc^2}{c^2+1}+\frac{c\left(a^2+1\right)-ca^2}{c^2+1}\)

\(\Leftrightarrow B=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

+ \(b^2+1\ge2b\forall b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

+ Tương tự ta cm đc :

\(\frac{bc^2}{c^2+1}\le\frac{bc}{2}\) . Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

\(\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ca}{2}\). Dấu '=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

Do đó : \(\frac{ab^2}{a^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

+ \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Do đó : \(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ab+bc+ca}{2}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge-\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Tuna Ngô
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Trân
Xem chi tiết
hoàng thiên
Xem chi tiết
no no
Xem chi tiết
Ely Trần
Xem chi tiết
Vương Nhất Bác
Xem chi tiết
ABCXYZ
Xem chi tiết
thỏ
Xem chi tiết