Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thành Minh

cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng

\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}\)+\(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}\)+\(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)\(\frac{3}{2}\)

Nhã Doanh
17 tháng 3 2019 lúc 16:02

Ta có: abc = 1, thế vào ta được:

\(\frac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a^2bc\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b^2ac\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c^2ab\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta có:

\(VT\ge\frac{\left(bc+ca+ac\right)^2}{abc\left(2ab+2bc+2ca\right)}=\frac{\left(bc+ca+ac\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Tuna Ngô
Xem chi tiết
Đoàn Phương Linh
Xem chi tiết
thỏ
Xem chi tiết
Chu Anh Trang
Xem chi tiết
Team Liên Quân
Xem chi tiết
no no
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Ka Ly Nguyễn
Xem chi tiết
Sinh Nguyễn Thị
Xem chi tiết