Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tùng

Cho a, b, c là ba số dương và a + b + c = 6. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}+1}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}+1}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}+1}\ge\frac{3}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 11 2019 lúc 15:33

\(P=\frac{2a}{2\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+2}+\frac{2b}{2\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+2}+\frac{2c}{2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}+2}\)

\(P\ge\frac{2a}{b^2+4}+\frac{2b}{c^2+4}+\frac{2c}{a^2+4}\)

\(2P\ge\frac{4a}{b^2+4}+\frac{4b}{c^2+4}+\frac{4c}{a^2+4}=a-\frac{ab^2}{b^2+4}+b-\frac{bc^2}{c^2+4}+a-\frac{ca^2}{a^2+4}\)

\(2P\ge a+b+c-\left(\frac{ab^2}{4b}+\frac{bc^2}{4c}+\frac{ca^2}{4a}\right)\)

\(2P\ge6-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca\right)\ge6-\frac{1}{12}\left(a+b+c\right)^2=3\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Đình Khang
Xem chi tiết
nguyen dinh thi
Xem chi tiết
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
qưet
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Trần Đình Đắc
Xem chi tiết