Câu 1 : cho 2 số dương a,b khác nhau và thỏa mãn a-b=\(\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\) . Tình giá trị của bthuc M = \(a^2+b^2\)
Câu 2 : a, tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn \(1+x+x^{2+}x^3+x^4=2016^y\)
b, giải pt \(x^2-x+8=4\sqrt{x+3}\)
Câu 3 : cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 . Tìm GTNN của bth P=\(\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}+2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}\)
\(\Rightarrow a^2\left(1-a^2\right)=b^2\left(1-b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2-a^4=b^2-b^4\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=1\)
- Với \(y=0\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của pt
- Với \(y>0\Rightarrow2016^y\) luôn chẵn
\(VT=1+x\left(x^3+x^2+x+1\right)=1+x\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
Do \(x\left(x+1\right)\) là tích 2 STN liên tiếp nên luôn chẵn
\(\Rightarrow VT\) luôn lẻ \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy pt có cặp nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
ĐKXĐ: \(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+x+7-4\sqrt{x+3}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\frac{\left(x-1\right)^2}{x+7+4\sqrt{x+3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(1+\frac{1}{x+7+4\sqrt{x+3}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
\(P=\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ac}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}+2\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ac}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)\)
Đặt \(\left(\sqrt{\frac{ab}{c}};\sqrt{\frac{bc}{a}};\sqrt{\frac{ac}{b}}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=3\)
\(P=2\left(x+y+z\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{9}{x+y+z}\)
\(P\ge x+y+z+x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}+2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
