Câu 1 : a, Cho A = \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\) B = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\) so sánh A và B
b, cho x,y ∈ Q sao , thỏa mãn x3 + y3=2x2y2 .CMR : B = \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\) là số hữu tỉ .
Câu 2 : a, tìm nghiệm nguyên dương của pt x4+x2+1=y2
b, giải pt \(\left(x+2\right)\left(x+4\right)=2\sqrt{2x+5}-2\)
Câu 3 : cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của bth P= \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)
\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=\sqrt{100}-1=9\)
\(B=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)
\(B>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)
\(B>2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\left(\sqrt{36}+\sqrt{35}\right)}\right)\)
\(B>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)
\(B>2\left(\sqrt{36}-1\right)=10>9=A\)
\(\Rightarrow B>A\)
Để biểu thức B có nghĩa thì \(xy\ne0\)
Khi đó ta có:
\(x^3+y^3=2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^4y^4\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3=4x^4y^4-4x^3y^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{xy}=\left(\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\left|\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right|\) là một số hữu tỉ
2
a.
\(x^4+x^2+1>x^4\)
\(x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=\left(x^2+1\right)^2-x^2< \left(x^2+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2\right)^2< y^2< \left(x^2+1\right)^2\)
Do \(y^2\) nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên ko thể là SCP
Vậy pt ko có nghiệm nguyên dương (nghiệm nguyên thì có, nguyên dương thì không)
b. ĐKXĐ: ...
\(x^2+6x+10-2\sqrt{2x+5}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+\left(2x+5-2\sqrt{2x+5}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(\sqrt{2x+5}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\\sqrt{2x+5}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-2\)
3.
Ta có: \(P=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}+\frac{b\left(c^2+1\right)-bc^2}{c^2+1}+\frac{c\left(a^2+1\right)-ca^2}{c^2+1}\)
\(P=a+b+c-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
Do \(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\ge0\) với mọi a;b;c ko âm
\(\Rightarrow P\le a+b+c=3\)
\(P_{max}=3\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
Xét hiệu:
\(\frac{ab^2}{b^2+1}-\frac{ab}{2}=ab\left(\frac{b}{b^2+1}-\frac{1}{2}\right)=-ab\left(\frac{b^2-2b+1}{2\left(b^2+1\right)}\right)=-\frac{ab\left(b-1\right)^2}{2\left(b^2+1\right)}\le0\) với mọi \(a;b\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab}{2}\Rightarrow a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng vế với vế: \(P\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
\(P_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Lưu ý: do a;b;c ko âm nên bài này không được phép áp dụng Cô-si ngược dấu theo kiểu:
\(\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Vì b có thể bằng 0 (tương tự với a và c) nên biểu thức \(a-\frac{ab^2}{2b}\) vô nghĩa về mặt toán học
