Câu 1 : a, CMR số x0=\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\) là 1 nghiệm của pt x4-16x2+32=0
b, Cho x2016+y2016+z2016=x2017+y2017+z2017=1 Tính giá trị biểu thức P= x10+y10+z2017
Câu 2 : a, Cho m,n là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau . Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số A= m+n và B= m2+n2
b,giải pt \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=10x-x^2-24\)
Câu 3 : cho các số thực dương a,b,c thảo mãn abc=1 . Tìm gtnn của bth S=\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\)
\(S=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\)
\(S=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ca}\)
\(S\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
\(S_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
GTNN của S hoàn toàn không cần đến điều kiện \(abc=1\), nó luôn bằng 1 với mọi số thực dương a;b;c (nên điều kiện \(abc=1\) là thừa)
\(x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\)
\(x^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
\(x^2=8-\sqrt{2}.\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{2}\sqrt{12-6\sqrt{3}}\)
\(x^2=8-\sqrt{2}.\left(\sqrt{3}+1\right)-\sqrt{2}.\left(3-\sqrt{3}\right)\)
\(x^2=8-4\sqrt{2}\)
\(x^2-8=-4\sqrt{2}\)
\(x^4-16x^2+64=32\)
\(x^4-16x^2+32=0\)
Do \(x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x^{2016}\le1\\0\le y^{2016}\le1\\0\le z^{2016}\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2017}\le x^{2016}\\y^{2017}\le y^{2016}\\z^{2017}\le z^{2016}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
\(\Rightarrow P=1\)
Gọi \(d=ƯC\left(m^2+n^2;m+n\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+n\right)^2-\left(m^2+n^2\right)⋮d\Rightarrow2mn⋮d\)
TH1: \(2⋮d\Rightarrow d_{max}=2\) khi \(m;n\) cùng lẻ
TH2: \(m⋮d\) , mà \(m+n⋮d\Rightarrow n⋮d\)
\(\Rightarrow d=ƯC\left(m;n\right)\Rightarrow d=1\)
Th3: \(n⋮d\) tương tự như trên ta có \(d=1\)
Vậy ước chung lớn nhất A; B bằng 2 khi m; n cùng lẻ
ĐKXĐ: \(x\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1-\left(x-5\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-\sqrt{x-1}\right)^2}=1-\left(x-5\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|=1-\left(x-5\right)^2\)
Ta có:
\(VT=\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}\right|=1\)
\(VP=1-\left(x-5\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=5\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=5\)
