Question

\(\bigtriangleup{ABC}\) nhọn có các đường cao AD , BE . Lấy P \(\in AD\) sao cho \(\widehat{BPC}\) = \(90^0\) . lấy Q \(\in BE \) sao cho \(\widehat{AQC}\) = \(90^0\) . Chứng minh :

a,, \(CA . CE =CD . CB \)

b, \(CP = CQ\)

Answer 1

Tự vẽ hình

Ta có : \(CA . CE = CD . CB\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CA}{CD} = \dfrac{CB}{CE}\)

Xét \(\bigtriangleup{CAD} \) và \(\bigtriangleup{CBE}\) , có :

\(\widehat{BCE}\) : chung

\(\widehat{CDA} = \widehat{CBE} = 90 ^0\)

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup{CAD}\) ~ \(\bigtriangleup{CBE}\) ( g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{CA}{CB} = \dfrac{CD}{ CE}\)

\(\Rightarrow\) \(CA. CE = CB . CD\) (đpcm)

Answer 2

b, Xét \(\bigtriangleup{AQC}\) vuông tại Q , có : \(QE \perp AD\)
Áp dụng hệ thức \(b^2 = a . b'\) , có :

\(\Leftrightarrow\) \(CQ^2 = CA . CE \) (1)

Xét \(\bigtriangleup{CPB}\) vuông tại P , có : \(PD \perp BC\)

Áp dụng hệ thức \(b^2= a . b'\)

\(\Leftrightarrow\) \(CP^2 = CB . CD \) (2)

Vì \(CA . CE = CB . CD \) (cmt) (3)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\) \(CQ^2 = CP^2\)

\(\Rightarrow\) \(CQ = CP \) (đpcm)