Ta có: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-6=0\left(1\right)\)
a) Thay m = 3 vào (1) ta được:
\(x^2-\left(2.3-1\right)x+3^2-6=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+3=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.3.1=25-12=13>0\)
Vì \(\Delta>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{13}}{2.1}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\)
\(x_2=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{13}}{2.1}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\); \(x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\) khi m = 3.
b)
+) Ta có: \(\Delta=\left[-\left(2m-1\right)\right]^2-4.\left(m^2-6\right).1=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-6\right)=4m^2-4m+1-4m^2+24=-4m+25\)
(1) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow-4m+25>0\)
\(\Leftrightarrow-4m>-25\)
\(\Leftrightarrow m< \frac{25}{4}\) (*)
+) Lại có: \(x_1^2+x_2^2=16\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=16\left(2\right)\)
Vì \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của (1) nên áp dụng định lí Vi-et ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-\left[-\left(2m-1\right)\right]}{1}\\x_1.x_2=\frac{m^2-6}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1.x_2=m^2-6\end{matrix}\right.\) (3)
Từ (2) và (3)
\(\Rightarrow\left(2m-1\right)^2-2\left(m^2-6\right)=16\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-2m^2+12=16\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m+13=16\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\\m=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{matrix}\right.\) (**)
+) Từ (*) và (**)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\\m=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\) hoặc \(m=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\) là giá trị cần tìm.
đạt giá trị nhỏ nhất
