Question

Bài 1 : Tứ giac ABCD có góc A=góc B, BC=CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh:

1) Tứ giác ABCD là hình thang vuông

2) AC^2 + AD^2 = BC^2 + BD^2

Answer 1

1) Xét ΔCBD có CB=CD(cmt)

nên ΔCBD cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=\widehat{CDB}\)(hai góc ở đáy của ΔCBD cân tại C)

mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}\)(DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))

nên \(\widehat{CBD}=\widehat{ADB}\)

mà \(\widehat{CBD}\) và \(\widehat{ADB}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

⇒\(\widehat{A}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà \(\widehat{A}=\widehat{ABC}\)(gt)

nên \(\widehat{A}=\widehat{ABC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Xét tứ giác ADCB có AD//BC(cmt)

nên ADCB là hình thang có hai đáy là AD và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang ADCB(AD//BC) có \(\widehat{A}=\widehat{ABC}=90^0\)(cmt)

nên ABCD là hình thang vuông có hai đáy là AD và BC(Định nghĩa hình thang vuông)

2) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại B, ta được:

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(AD^2+AB^2=BD^2\)

hay \(AD^2=BD^2-AB^2\)

Ta có: \(AC^2+AD^2\)

\(=AB^2+BC^2+BD^2-AB^2\)

\(=BC^2+BD^2\)(đpcm)