Question

85. Cho biểu thức \(A=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}\)

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên

c) Tìm giá trị lớn nhất của A

Answer 1

a) \(A=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\dfrac{3}{x^2+1}\)

b) Để A nhận gt nguyên thì 3 \(⋮x^2+1\)

\(\Rightarrow x^2+1\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1;3;-1;-3\right\}\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0;2;-2;-4\right\}\)

Vì \(x^2\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=0\\x^2=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

c) Ta có : \(x^2+1\ge1\) với mọi x

\(\Rightarrow\dfrac{3}{x^2+1}\le\dfrac{3}{1}=3\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=0\\\Leftrightarrow x=0\)

Vậy A_max=3 \(\Leftrightarrow x=0\)