Question

3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Biết BC = a, CA = b, AB = c. Gọi m_a là độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a, \(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{SinB}=\dfrac{c}{SinC}\)

b, \(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

c, \(c=b.cosA+a.cosB\)

d, \(m_{a^2}=\dfrac{1}{2}\left(c^2+b^2\right)-\dfrac{1}{4}a^2\)

Answer 1

a) Kẻ các đường cao \(AD;BE;CF\)

ta có : \(AD=AB.sinB\) và \(AD=AC.sinC\)

\(\Rightarrow AB.sinB=AC.sinC\Leftrightarrow c.sinB=b.sinC\Leftrightarrow\dfrac{c}{sinC}=\dfrac{b}{sinB}\)

làm tương tự ta có : \(\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{a}{sinA}\) và \(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{c}{sinC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\left(đpcm\right)\)

b) ta có : \(BC^2=BE^2+EC^2=AB^2-AE^2+\left(AC-AE\right)^2\)

\(\Leftrightarrow BC=AB^2-AE^2+AC^2-2AC.AE+AE^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2-2AC.AB.cosA\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\left(đpcm\right)\)

c) ta có : \(AB=BF+FA=BC.cosB+AC.cosA\)

\(\Leftrightarrow c=a.cosB+b.cosA\left(đpcm\right)\)

Answer 2

đặc \(M\) là chân đường trung tuyên kẻ từ \(A\) \(\left(m_a\right)\)

ta có : \(AM^2=AB^2+BM^2-2AB.BM.cosB\)

\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2+BM^2-2AB.BM\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB.2BM}\)

\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2+\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2-\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2-\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2}+\dfrac{BC^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow AM^2=\dfrac{2AB^2-AB^2-BC^2+AC^2}{2}+\dfrac{BC^2}{4}\) \(\Leftrightarrow AM^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{2}+\dfrac{BC^2}{4}\) \(\Leftrightarrow AM^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{4}\Leftrightarrow m_a^2=\dfrac{c^2+b^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\left(đpcm\right)\)

(chú ý câu này sử dụng công thức ở câu \(b;c\) nha)

Answer 3

@Mysterious Person Giúp với ạ. Có thể tag ai có thể giúp thì giúp với ạ