a: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
=>OA=OB=OC
mà SA=SB=SC
nên SO⊥(ABC)
\(\hat{SA;\left(ABC\right)}=60^0\)
=>\(\hat{SA;AO}=60^0\)
=>\(\hat{SAO}=60^0\)
Vì S.ABC là hình chóp đều
nên \(\hat{SA;\left(ABC\right)}=\hat{SB;\left(ABC\right)}=\hat{SBO}\)
=>\(\hat{SBO}=60^0\)
ΔABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
nên O cũng là trọng tâm của ΔABC
Gọi H là trung điểm của AC
Xét ΔBAC đều có BH là đường trung tuyến
nên \(BH=AC\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=a\sqrt3\)
Xét ΔBAC có
BH là đường trung tuyến
O là trọng tâm
Do đó: \(BO=\frac23BH=\frac23\cdot a\sqrt3=\frac{2a\sqrt3}{3}\)
Xét ΔSOB vuông tại O có tan SBO\(=\frac{SO}{OB}\)
=>\(SO=OB\cdot\tan60=\frac{2a\sqrt3}{3}\cdot\tan60=2a\)
Diện tích đáy là: \(S_{đáy}=\left(2a\right)^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=4a^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3\)
=>\(V_{S.ABC}=\frac13\cdot SO\cdot S_{đáy}=\frac13\cdot2a\cdot a^2\sqrt3=\frac{2a^3\sqrt3}{3}\)
b: Gọi M là trung điểm của BC
ΔSBC cân tại S
mà SM là đường trung tuyến
nên SM⊥BC
ΔABC đều
mà AM là đường trung tuyến
nên AM⊥BC
ΔABC đều có AM là đường trung tuyến
nên \(AM=BC\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=a\sqrt3\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
O là trọng tâm
Do đó: A,O,M thẳng hàng
=>\(OM=\frac13AM=\frac{a\sqrt3}{3}\)
(SBC) giao (ABC)=BC
SM⊥BC; SM⊂(SBC)
AM⊥BC; AM⊂(ABC)
Do đó: \(\hat{\left(SBC\right);\left(ABC\right)}=\hat{SM;MA}=\hat{SMA}=\hat{SMO}\)
=>\(\hat{SMO}=30^0\)
Xét ΔSOM vuông tại O có tan M=SO/OM
=>\(SO=OM\cdot\tan M=\frac{a\sqrt3}{3}\cdot\tan30=\frac{a\sqrt3}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{a}{3}\)
Thể tích hình chóp S.BAC là:
\(V=\frac13\cdot SO\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot\frac{a}{3}\cdot a^2\sqrt3=\frac{a^3\sqrt3}{9}\)
