Question

1.Trong mặt phẳng tọa độ oxy,cho đg thẳng (d) :y=2x-m+1 và parabol:y=\(\frac{1^{ }}{2}x^2\)

Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có tọa độ\(\left(x_1;y_1\right)\)và\(\left(x_2;y_2\right)\)sao cho \(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{2}x^2-(2x-m+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2m-2=0(*)\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi \(\Delta'=4-(2m-2)>0\Leftrightarrow m< 3\)

Khi đó, $x_1,x_2$ sẽ là 2 nghiệm của $(*)$ thỏa mãn:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\) (định lý Vi-et)

Ta có:

\(x_1x_2(y_1+y_2)+48=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2(2x_1-m+1+2x_2-m+1)+48=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2-m+1)+24=0\)

\(\Leftrightarrow (2m-2)(4-m+1)+24=0\)

\(\Leftrightarrow -m^2+6m+7=0\Rightarrow m=7; m=-1\). Kết hợp với đk $m< 3$ suy ra $m=-1$