a: Xét (O) có
ΔCND nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCND vuông tại N
Xét tứ giác OMND có \(\hat{MOD}+\hat{MND}=90^0+90^0=180^0\)
nên OMND là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: OM+MB=OB
=>\(BM=OB-OM=OB-\frac13OB=\frac23BO\)
Xét ΔBCD có
BO là đường trung tuyến
\(BM=\frac23BO\)
Do đó: M là trọng tâm của ΔBCD
Xét ΔBCD có
M là trọng tâm
CM cắt BD tại K
Do đó; K là trung điểm của BD
ΔOBD vuông tại O
=>\(OB^2+OD^2=BD^2\)
=>\(BD^2=R^2+R^2=2R^2\)
=>\(BD=R\sqrt2\)
=>\(KB=KD=\frac{R\sqrt2}{2}\)
Xét ΔKCD và ΔKBN có
\(\hat{KCD}=\hat{KBN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DN)
\(\hat{CKD}=\hat{BKN}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔKCD~ΔKBN
=>\(\frac{KC}{KB}=\frac{KD}{KN}\)
=>\(KC\cdot KN=KB\cdot KD=\frac{R\sqrt2}{2}\cdot\frac{R\sqrt2}{2}=\frac{R^2\cdot2}{4}=\frac{R^2}{2}\)
c:
ΔCOM vuông tại O
=>\(CO^2+OM^2=CM^2\)
=>\(CM^2=R^2+\left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{10}{9}R^2\)
=>\(CM=\frac{R\sqrt{10}}{3}\)
Xét ΔCOM vuông tại O và ΔCND vuông tại N có
\(\hat{OCM}\) chung
Do đó: ΔCOM~ΔCND
=>\(\frac{OM}{ND}=\frac{CM}{CD}\)
=>\(DN=OM\cdot\frac{CD}{CM}=\frac{R}{3}\cdot\frac{2R}{\frac{R\sqrt{10}}{3}}=\frac{R}{3}\cdot2\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}R\)
