a; Xét (I) có
ΔAMH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAMH vuông tại M
=>HM⊥AB tại M
Xét (I) có
ΔANH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔANH vuông tại N
=>HN⊥AC tại N
Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của AH
nên I là trung điểm của MN
=>M,I,N thẳng hàng
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Do đó; ΔAMN~ΔACB
=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{AMN}+\hat{BMN}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{BMN}+\hat{BCN}=180^0\)
=>BMNC là tứ giác nội tiếp
ΔABC vuông tại A
mà AO là đường trung tuyến
nên OA=OB=OC
OA=OB
=>ΔOAB cân tại O
=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}\)
\(\hat{DAM}+\hat{DMA}=\hat{AMN}+\hat{OAB}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>AO⊥MN tại D
Xét tứ giác HODI có \(\hat{OHI}+\hat{ODI}=90^0+90^0=180^0\)
nên HODI là tứ giác nội tiếp
