a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>CB⊥CA tại C
Xét tứ giác BHKC có \(\hat{BHK}+\hat{BCK}=90^0+90^0=180^0\)
nên BHKC là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó; ΔMAB vuông tại M
Xét tứ giác AMEI có \(\hat{AME}+\hat{AIE}=90^0+90^0=180^0\)
nên AMEI là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAHK vuông tại H và ΔACB vuông tại C có
\(\hat{HAK}\) chung
Do đó: ΔAHK~ΔACB
=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{AB}\)
=>\(AK\cdot AC=AH\cdot AB\) (1)
Xét ΔMAB vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AB=AM^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM^2=AK\cdot AC\)
c: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C có
\(\hat{IAE}\) chung
Do đó: ΔAIE~ΔACB
=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AE\cdot AC\)
Xét ΔBIE vuông tại I và ΔBMA vuông tại M có
\(\hat{IBE}\) chung
Do đó: ΔBIE~ΔBMA
=>\(\frac{BI}{BM}=\frac{BE}{BA}\)
=>\(BE\cdot BM=BI\cdot BA\)
\(AE\cdot AC+BE\cdot BM\)
\(=AI\cdot AB+BI\cdot AB\)
\(=AB\left(AI+BI\right)=AB^2\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M
.
