Gọi a,b,c là ba số tự nhiên cần tìm. Điều kiện: a<b<c và 1≠a,b,c∈N*.
Từ điều kiện, ta có \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{c}\).
Ta có: \(\dfrac{3}{c}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1< \dfrac{3}{a}\), suy ra \(c>3>a\). Suy ra, chỉ có a=2 thỏa mãn.
Đặt c=2+k với k∈N và k>1.
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2+k}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2+k}=\dfrac{1}{b}\) \(\Leftrightarrow\) \(b=\dfrac{2k+4}{k}=2+\dfrac{4}{k}\).
Do 1≠b∈N* nên k=Ư(4)={-4,-2,-1,1,2,4}.
+) Với k={-4,-2,-1,1} (loại, k>1).
+) Với k=2, c=4 và b=4 (loại, a<b<c).
+) Với k=4, c=6 và b=3 (nhận).
Vậy ba số tự nhiện cần tìm là 2, 3 và 6.
