\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1;x_2\) là độ dài 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5>0\\x_1x_2=3m+6>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m>-2\), khi đó áp dụng Pitago ta có:
\(x_1^2+x_2^2=5^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)
\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
a, \(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2+10m+25-12m-24=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm với mọi số thực m
b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\)
Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2=25\)(pytago)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)
Thay vào ta được \(\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)
\(\Leftrightarrow m^2-10m+25-6m-12=25\Leftrightarrow m^2-16m+13=25\)
\(\Leftrightarrow m^2-16m-12=0\Leftrightarrow m=8\pm2\sqrt{19}\)
