a: Xét ΔACB có
E, F lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>EF là đường trung bình của ΔCAB
=>EF//AB và \(EF=\frac{AB}{2}\)
b: EF//AB
=>EF//AD và EF=BD
\(EF=\frac{AB}{2}\)
\(AD=BD=\frac{AB}{2}\)
Do đó: EF=AD=BD
Xét tứ giác ADFE có
AD//FE
AD=FE
Do đó: ADFE là hình bình hành
Xét ΔADE có
M,N lần lượt là trung điểm của AD,AE
=>MN là đường trung bình của ΔADE
=>MN//DE và \(MN=\frac{DE}{2}\)
Xét ΔFDE có
P,Q lần lượt là trung điểm của FE,FD
=>PQ là đường trung bình của ΔFDE
=>PQ//DE và \(PQ=\frac{DE}{2}\)
MN//DE
PQ//DE
Do đó: MN//PQ
\(MN=\frac{DE}{2}\)
\(PQ=\frac{DE}{2}\)
Do đó: MN=PQ
Xét tứ giác MNPQ có
MN//PQ
MN=PQ
Do đó: MNPQ là hình bình hành
c: Hình bình hành ADFE có \(\hat{DAE}=90^0\)
nên ADFE là hình chữ nhật
=>AF=DE
Xét ΔDAF có
M,Q lần lượt là trung điểm của DA,DF
=>MQ là đường trung bình của ΔDAF
=>\(MQ=\frac{AF}{2}=\frac{DE}{2}=MN\) và MQ//AF
Hình bình hành MNPQ có MQ=MN
nên MNPQ là hình thoi
d: Hình bình hành MNPQ trở thành hình vuông khi MN=MQ và MN⊥MQ
MN=MQ
\(MN=\frac{DE}{2}\)
\(MQ=\frac{AF}{2}\)
Do đó: DE=AF
MN⊥MQ
MN//DE
Do đó: MQ⊥DE
MQ⊥DE
MQ//AF
Do đó: AF⊥DE
Hình bình hành ADFE có AF=DE
nên ADFE là hình chữ nhật
Hình chữ nhật ADFE có AF⊥DE
nên ADFE là hình vuông
=>AD=AE và \(\hat{DAE}=90^0\)
\(\hat{DAE}=90^0\) nên \(\hat{BAC}=90^0\)
AD=AE
mà AD=AB/2 và AE=AC/2
nên AB=AC
