Bài 8:
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)=4m^2-4m^2+4=4>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m;x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-1\)
\(S=x_1+x_2+2x_1x_2-2\)
\(=2m+2\left(m^2-1\right)-2=2m^2+2m-4\)
\(=2\left(m^2+m-2\right)=2\left(m^2+m+\frac14-\frac94\right)=2\left(m+\frac12\right)^2-\frac92\ge-\frac92\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m+\frac12=0\)
=>\(m=-\frac12\)
BÀi 7:
\(\Delta=\left(2m\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2-2\right)\)
\(=4m^2-8m^2+16=-4m^2+16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0
=>\(-4m^2+16\ge0\)
=>\(-4m^2\ge-16\)
=>\(m^2\le4\)
=>-2<=m<=2
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2m}{2}=-m;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-2}{2}\)
\(P=x_1+x_2-2x_1x_2-8\)
\(=-m-2\cdot\frac{m^2-2}{2}-8=-m-\left(m^2-2\right)-8\)
\(=-m-m^2+2-8=-m^2-m-6\)
\(=-\left(m^2+m+6\right)=-\left(m^2+m+\frac14+\frac{23}{4}\right)=-\left(m+\frac12\right)^2-\frac{23}{4}\le-\frac{23}{4}\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m+\frac12=0\)
=>\(m=-\frac12\)
