1.
ĐKXĐ \(sinx.cosx\ne0\Leftrightarrow sin2x\ne0\)
\(\Leftrightarrow2x\ne k\pi\)
\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)
2.
Do \(-1\le sinx;cosx\le1\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2+cosx>0\\2-sinx>0\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\)
Hay \(y=\sqrt{\dfrac{2+cosx}{2-sinx}}\) xác định trên R
3.
\(y=1-cos2x+cos^22x\)
Đặt \(cos2x=t\in\left[-1;1\right]\)
\(y=f\left(t\right)=t^2-t+1\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(-1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
Vậy \(y_{max}=3\) ; \(y_{min}=\dfrac{3}{4}\)
4.
Hàm \(y=tanx\) xác định trên khoảng đã cho và \(y=tanx\) luôn đồng biến trên các khoảng xác định nên đáp án D đúng
5.
\(y=5sinx.tan2x\)
\(y\left(-x\right)=5sin\left(-x\right).tan\left(-2x\right)=5sinx.tan2x=y\left(x\right)\)
\(\Rightarrow y=5sinx.tan2x\) là hàm chẵn
6.
Hiển nhiên chỉ có hàm \(y=cotx\) tuần hoàn
7.
\(2cos^2x=1\Leftrightarrow2cos^2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)
\(-2\pi\le\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\le2\pi\Rightarrow-\dfrac{9}{2}\le k\le\dfrac{7}{2}\)
\(\Rightarrow k=\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}\)
Phương trình có 8 nghiệm trên đoạn đã cho
8.
\(cos2x+5cos5x+3=10cos2x.cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos2x+5cos5x+3=5cosx+5cos5x\)
\(\Leftrightarrow cos2x+3=5cosx\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1+3=5cosx\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-5cosx+2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=2\left(loại\right)\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\)
9.
\(sin2x+4sinx-2cosx-4=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx.cosx+4sinx-2cosx-4=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(cosx+2\right)-2\left(cosx+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(sinx-1\right)\left(cosx+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sinx=1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le100\pi\Rightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{199}{4}\)
\(\Rightarrow0\le k\le49\)
\(\sum x=\sum\limits^{49}_{k=0}\left(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)=50.\dfrac{\pi}{2}+2\pi.1225=2475\pi\)
10.
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1-\left(2m-1\right)cosx-m+1=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-\left(2m-1\right)cosx-m=0\)
Đặt \(cosx=t\)
\(\Rightarrow2t^2-\left(2m-1\right)t-m=0\) (1)
Pt đã cho có đúng 2 nghiệm trên \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) khi và chỉ khi (1) có đúng 1 nghiệm thuộc \([0;1)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t^2+t-m\left(2t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t\left(2t+1\right)-m\left(2t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-m\right)\left(2t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=m\\t=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi \(m\in[0;1)\) hay \(0\le m< 1\)
Câu này cả 4 đáp án đều sai, giá trị \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu đề bài (tại \(m=1\) pt chỉ có 1 nghiệm)
11.
\(2cos^2x+cosx=sinx+sin2x\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-2sinx.cosx+cosx-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow2cosx\left(cosx-sinx\right)+cosx-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx+1\right)\left(cosx-sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2cosx+1=0\\cosx-sinx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-\dfrac{1}{2}\\tanx=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\dfrac{\pi}{4}\)
12.
Câu này trắc nghiệm (ko ai đi vẽ đồ thị để check đáp án cả)
Hàm liên tục nên loại đáp án A
Hàm đi qua \(\left(0;0\right)\) nên loại D
Tại \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow sin2x=0\) trong khi đồ thị hàm không cắt Ox tại \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\) loại B
Vậy C đúng
13.
\(2sin^2x-2\left(m-1\right)sin2x+2\left(m-1\right)cos^2x=2m\)
\(\Leftrightarrow1-cos2x-2\left(m-1\right)sin2x-\left(m-1\right)\left(1+cos2x\right)=2m\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)sin2x+mcos2x=2-3m\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\left(2m-2\right)^2+m^2\ge\left(2-3m\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-m\le0\)
\(\Leftrightarrow0\le m\le1\)
Có 2 số nguyên thỏa mãn
14.
\(2sin^2x-2msinx-sinx+m=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(sinx-m\right)-\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\\sinx=m\end{matrix}\right.\)
Do \(sinx=\dfrac{1}{2}\) ko có nghiệm trên khoảng đã cho nên bài toán thỏa mãn khi
\(sinx=m\) có nghiệm trên khoảng đã cho
Mặt khác, với \(-\dfrac{\pi}{2}< x< 0\Rightarrow-1< sinx< 0\)
\(\Rightarrow-1< m< 0\)
15.
ĐKXĐ: \(x\ne k\pi\)
\(sin5x=5sinx\)
\(\Leftrightarrow sin5x-sinx=4sinx\)
\(\Leftrightarrow2cos3x.sin2x=4sinx\)
\(\Leftrightarrow cos3x.sinx.cosx-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(cos3x.cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow cos3x.cosx-1=0\) (do \(sinx\ne0\) theo ĐKXĐ)
\(\Leftrightarrow\left(4cos^3x-3cosx\right)cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow4cos^4x-3cos^2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos^2x=1\Rightarrow sinx=0\left(loại\right)\\cos^2x=-\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy pt đã cho vô nghiệm
A
