- TXĐ : D = R .
- Lấy \(T=\dfrac{5}{2}\pi\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\pm\dfrac{5}{2}\pi\in D\\f\left(x+T\right)=f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{2}\pi\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{4}{5}x\right)\end{matrix}\right.\)
=> Hàm số là hàm tuần hoàn .
- Ta có : \(y=\sin\left(\dfrac{2}{5}x\right)\cos\left(\dfrac{2}{5}x\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{4}{5}x\right)\)
- Gọi T là chu kỳ của hàm số .
\(\Rightarrow\) T là số dương nhỏ nhất .
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{4}{5}\left(x+T\right)\right)=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{4}{5}x\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{4}{5}T\right)=\sin\left(\dfrac{4}{5}T\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{5}T=2\pi\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{5}{2}\pi\)
Vậy chu kỳ của hàm số là \(T=\dfrac{5}{2}\pi\) .
b.
Giả sử hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T\neq 0$. Ta có:
\(\cos x+\cos (\sqrt{3}x)=\cos (x+T)+\cos (\sqrt{3}x+\sqrt{3}T)\)
$x=0$ thì $1+1=\cos T+\cos (\sqrt{3}T)$
$\Leftrightarrow 2=\cos T+\cos (\sqrt{3}T)$
Mà: $\cos T+\cos (\sqrt{3}T)\leq 1+1=2$ nên dấu "=" xảy ra khi $\cos T=\cos (\sqrt{3}T)=0$
$\Rightarrow T=k\pi$ và $\sqrt{3}T=n\pi$ với $k,n$ nguyên
$\Rightarrow \frac{n}{k}=\sqrt{3}$
Mà $\frac{n}{k}\in Q$ mà $\sqrt{3}\not\in\mathbb{Q}$ nên vô lý
Do đó hàm số trên không tuần hoàn.
