a: Xét (O) có
\(\hat{BAK}\) là góc nội tiếp chắn cung BK
\(\hat{CAK}\) là góc nội tiếp chắn cung CK
\(\hat{BAK}=\hat{CAK}\)
Do đó: sđ cung BK=sđ cung CK
=>KB=KC
b: ΔOAC cân tại O
=>\(\hat{OAC}=\frac{180^0-\hat{AOC}}{2}=90^0-\frac12\cdot\hat{AOC}=90^0-\hat{ABC}\) (1)
ΔAHB vuông tại H
=>\(\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)
=>\(\hat{HAB}=90^0-\hat{ABC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BAH}=\hat{OAC}\)
Ta có: \(\hat{BAH}+\hat{HAI}=\hat{BAI}\)
\(\hat{CAO}+\hat{IAO}=\hat{IAC}\)
mà \(\hat{BAH}=\hat{CAO};\hat{BAI}=\hat{CAI}\)
nên \(\hat{HAI}=\hat{OAI}\)
=>AI là phân giác của góc HAO
c: Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
Xét (O) có
\(\hat{ABC};\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó; \(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔACD vuông tại C có
\(\hat{ABH}=\hat{ADC}\)
Do đó: ΔAHB~ΔACD
=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\)
=>\(AH\cdot AD=AB\cdot AC\)
d: Xét ΔIBA và ΔIKC có
\(\hat{IBA}=\hat{IKC}\)
\(\hat{BIA}=\hat{KIC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔIBA~ΔIKC
=>\(\frac{IB}{IK}=\frac{IA}{IC}\)
=>\(IB\cdot IC=IK\cdot IA\)
