à cảm ơn (chắc lúc bấm máy tính mình dư số 0)

\(B=\dfrac{x}{x-4}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\left(x\ge0,x\ne4\right)\)

\(=\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{x+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

\(C=\dfrac{x-3\sqrt{x}+4}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\left(x>0,x\ne4\right)\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x-3\sqrt{x}+4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

\(D=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{4}{x-1}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)+5\left(\sqrt{x}+1\right)+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\)

\(E=\dfrac{1}{2\sqrt{x}-3}-\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}-\dfrac{3+8\sqrt{x}}{4x-9}\left(x\ge0,x\ne\dfrac{9}{4}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x}-3}-\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}-\dfrac{3+8\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+3-\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-3\right)-3-8\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{-2x-3\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+3\right)}{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}\)

2.1) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=3\left(1\right)\\x-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\left(y\ne0\right)\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow3x=3\Rightarrow x=1\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{y}}=1\Rightarrow y=1\)

bài 12: 

Xét \(\Delta BCH\) và \(\Delta CAH:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BHC=\angle AHC=90\\\angle BCH=\angle CAH=90-\angle ACH\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BCH\sim\Delta CAH\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow\dfrac{2CI}{CB}=\dfrac{AH}{\dfrac{AD}{2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2CI}{CB}=\dfrac{2AH}{AD}\Rightarrow\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta CIB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{AH}{AD}\\\angle BCI=\angle DAH=90-\angle ACH\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta CIB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle ADH=\angle CBI\Rightarrow CDBE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle CEI=\angle CDB\left(1\right)\)

Xét \(\Delta CDH\) có I là trung điểm CH,J là trung điểm DH

\(\Rightarrow IJ\) là đường trung bình \(\Rightarrow\) \(IJ\parallel CD\) \(\Rightarrow\angle IJC=\angle DCJ\)

Tương tự \(\Rightarrow\) \(CJ\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle DCJ=\angle DAB\Rightarrow\angle IJC=\angle DAB\left(2\right)\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AC=DC\\AD\bot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BDA\) cân tại B \(\Rightarrow\angle DAB=\angle ADB\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\angle CJI=\angle CEI\Rightarrow CJIE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ICE=\angle IJE=\angle CDH\)

Xét \(\Delta HCE\) và \(\Delta HDC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CHDchung\\\angle HCE=\angle HDC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HCE\sim\Delta HDC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HC}{HD}=\dfrac{HE}{HC}\Rightarrow HC^2=HE.HD\)

bài 9:

\(\sqrt{\left(1-\sqrt{2022}\right)^2}.\sqrt{2023+2\sqrt{2022}}=\left(\sqrt{2022}-1\right)\left(\sqrt{\left(\sqrt{2022}+1\right)^2}\right)\)

\(\left(\sqrt{2022}-1\right)\left(\sqrt{2022}+1\right)=2022-1=2021\)

a) ý bạn chắc là BD cắt đường tròn đk BC tại K nhỉ.chứ ko có điểm K

Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle CKB=90\)

\(\Rightarrow\angle DHC+\angle DKC=90+90=180\Rightarrow DHCK\) nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh được H là trung điểm DE

\(\Rightarrow\) DE và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

\(\Rightarrow ADCE\) là hình bình hành có \(DE\bot AC\Rightarrow ADCE\) là hình thoi

\(\Rightarrow CE\parallel DA\) mà \(DA\bot DB\left(\angle ADB=90\right)\Rightarrow CE\bot DB\)

mà \(CK\bot DB\left(\angle CKB=90\right)\Rightarrow C,E,K\) thẳng hàng 

c) MN cắt DE tại G.Kẻ tiếp tuyến MM' của (O)

Ta có: \(EM^2+DN^2=GM^2+GE^2+GD^2+GN^2\)

\(=\left(GM^2+GD^2\right)+\left(GE^2+GN^2\right)=MD^2+EN^2\left(1\right)\)

Vì MM' là đường kính \(\Rightarrow\angle MNM'=90\Rightarrow M'N\bot MN\)

mà \(MN\bot DE\) \(\Rightarrow M'N\parallel DE\) \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang

mà \(DNM'E\) nội tiếp \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang cân

\(\Rightarrow EN=M'D\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow EM^2+DN^2=DM^2+DM'^2=MM'^2=4R^2\)

ủa ở khúc này phải suy ra là \(cosA=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\) chớ bạn,bạn có tính nhầm ko

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại B có \(tanA=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow BC=\dfrac{3}{5}AB\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2+\dfrac{9}{25}AB^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{5}AB\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\Rightarrow cosA=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\)

\(AC=\dfrac{\sqrt{34}}{5}AB\Rightarrow AC=\dfrac{\sqrt{34}}{5}.\dfrac{5}{3}BC=\dfrac{\sqrt{34}}{3}BC\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\)

\(\Rightarrow sinA=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\)

b) cũng tương tự như câu a thôi,bạn tự tính nha

3a) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2+3m-2=m-1\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\Rightarrow m>1\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m^2-3m+2\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(x_1^2+x_2^2=3x_1x_2\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=5x_1x_2\)

\(\Rightarrow4\left(m-1\right)^2=5m^2-15m+10\Rightarrow m^2-7m+6=0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)\left(m-6\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=6\end{matrix}\right.\) mà \(m>1\Rightarrow m=6\)

a) Ta có: \(\angle DBO+\angle DFO=90+90=180\Rightarrow OBDF\) nội tiếp

Lấy I là trung điểm DO 

Vì \(\Delta DBO,\Delta DFO\) lần lượt vuông tại B và F có I là trung điểm DO

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BI=DI=IO\\ID=IO=IF\end{matrix}\right.\Rightarrow IB=ID=IO=IF\Rightarrow I\) là tâm của (OBDF)

b) Ta có: \(AO=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{\dfrac{16}{9}R^2+R^2}=\dfrac{5}{3}R\)

\(\Rightarrow cosDAB=\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{\dfrac{4}{3}R}{\dfrac{5}{3}R}=\dfrac{4}{5}\)

c) Cần chứng minh \(\dfrac{BD}{DM}-1=\dfrac{DM}{AM}\Rightarrow\dfrac{DF-DM}{DM}=\dfrac{DM}{AM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{DM}=\dfrac{DM}{AM}\Rightarrow DM^2=MF.MA\) 

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot BC\\DB\bot BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel DB\)\(\Rightarrow\angle MOD=\angle BDO=\angle FDO\) 

\(\Rightarrow\Delta MOD\) cân tại M \(\Rightarrow MO=MD\)

mà \(MO^2=MF.MA\Rightarrow MD^2=MF.MA\)

d) MO cắt nửa đường tròn tại E

Ta có: \(tanDAB=\dfrac{FO}{AF}=\dfrac{R}{\dfrac{4}{3}R}=\dfrac{3}{4}\)

mà \(tanDAB=\dfrac{MO}{OA}\Rightarrow\dfrac{MO}{OA}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MO=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{3}R=\dfrac{5}{4}R\)

Vì \(MO\parallel DB\) \(\Rightarrow\dfrac{MO}{DB}=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{\dfrac{5}{3}R}{2R}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow DB=\dfrac{MO}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{\dfrac{5}{4}R}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{3}{2}R\)

Có DB,OM rồi thì bạn thế vào tính \(S_{OBDM}=\dfrac{1}{2}.\left(BD+OM\right).BO\)

còn diện tích quạt \(BOE=\dfrac{90}{360}.R^2\pi=\dfrac{1}{4}R^2\pi\)

\(\Rightarrow\) diện tích tứ giác OBDM nằm ngoài đường tròn \(=S_{OBDM}-S_{quatBOE}\)

bạn thế vài tính nha

PS: ý tưởng là vậy chứ bạn tính toán lại cho kĩ,chứ mình hay tính nhầm lắm