a) ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{x-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) Để \(P< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{2}< 0\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+2}< 0\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}+2}< 0\)

mà \(2\sqrt{x}+2>0\Rightarrow\sqrt{x}-3< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 3\Rightarrow x< 9\)

\(\Rightarrow0\le x< 9\left(x\ne1\right)\)

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\)

Số tiền 1 cuốn sánh mà nhà sách bán là: \(\dfrac{2310000}{30}=770000\) (đồng)

Theo đề,mỗi cuốn sách bán được thì nhà sách lãi 9000 đồng

\(\Rightarrow\) giá bìa mỗi cuốn sách là \(770000-9000=761000\) (đồng)

6. a) Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle BEC=\angle CDB=90\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD\bot AB\\BE\bot AC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\Rightarrow AF\bot BC\)

Ta có: \(\Rightarrow\angle BEC=\angle CDB=90\Rightarrow BCED\) nội tiếp

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ADE=\angle ACB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB.AD=AE.AC\)

b) Ta có: \(\angle CEH+\angle HFC=90+90=180\Rightarrow CEHF\) nội tiếp 

 \(\Delta AEH\) vuông tại E có I là trung điểm AH \(\Rightarrow IA=IH=IE\)

\(\Rightarrow\Delta IEH\) cân tại I \(\Rightarrow\angle IEH=\angle IHE=\angle ECB\) (EHFC nội tiếp)

 \(\Delta EBC\) vuông tại E có O là trung điểm BC \(\Rightarrow OE=OB=OC\)

\(\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\angle OEB=\angle OBE\)

\(\Rightarrow\angle IEO=\angle IEH+\angle BEO=\angle ECB+\angle EBC=90\)

mà \(\angle IFO=90\Rightarrow IEOF\) nội tiếp

c) Dễ dàng chứng minh được DBFH nội tiếp

Ta có: \(\angle HFD=\angle HBD=\angle HCE=\angle HFE\)

Tương tự như câu b,ta chứng minh được \(\angle IDO=90\Rightarrow IDFO\) nội tiếp

\(\Rightarrow I,D,F,E,O\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\angle IED=\angle IFD=\angle IFE\)

Xét \(\Delta IEM\) và \(\Delta IFE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle FIEchung\\\angle IEM=\angle IFE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta IEM\sim\Delta IFE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{IM}{IE}\Rightarrow IE^2=IM.IF\)

Xét \(\Delta IEK\) và \(\Delta ICE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CIEchung\\\angle IEK=\angle ICE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta IEK\sim\Delta ICE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IK}{IE}\Rightarrow IE^2=IK.IC\)

\(\Rightarrow IK.IC=IM.IF\Rightarrow\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{IF}{IC}\)

Xét \(\Delta IMK\) và \(\Delta ICF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle FICchung\\\dfrac{IK}{IM}=\dfrac{IF}{IC}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta IMK\sim\Delta ICF\left(g-g\right)\Rightarrow\angle IKM=\angle IFC=90\Rightarrow MK\bot IC\)

mà \(BK\bot IC\) (\(\angle BKC=90\) do BC là đường kính)

\(\Rightarrow B,M,K\) thẳng hàng

ý 1: Để pt (1) có 1 nghiệm duy nhất thì \(\Delta=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4m+8=-4m+33\)

\(\Rightarrow33-4m=0\Rightarrow m=\dfrac{33}{4}\)

ý 2: Khi \(m=4\Rightarrow x^2-5x+2=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-8=17\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\\x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

1.typist

2. inconvenient

3. undoubtedly

4. succeeded

câu hình:

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\Rightarrow\angle EDB+\angle EHB=180\)

\(\Rightarrow EDHB\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ADB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle DABchung\\\angle AHE=\angle ADB=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHE\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB.AH=AD.AE\)

mà \(AH.AB=AC^2\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow AC^2=AD.AE\)

c) Vì \(EF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle CFE=\angle CBA=\angle CDA=\angle CDE\)

\(\Rightarrow CDFE\) nội tiếp mà \(\angle CEF=90\) \((EF\parallel AB,AB\bot CH)\)

\(\Rightarrow\angle CDF=90\Rightarrow CD\bot DF\)

Vì \(\Delta CDF\) vuông tại D có K là trung điểm CF \(\Rightarrow KC=KD\)

\(\Rightarrow\Delta KCD\) cân tại K \(\Rightarrow\angle DKB=2\angle DCB=2\angle DAB=\angle DOB\)

\(\Rightarrow DKOB\) nội tiếp \(\Rightarrow K\in\left(OBD\right)\)

câu hình:

a) Vì C là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow OC\bot AB\Rightarrow\angle AOC=90\)

\(\Rightarrow\angle AOC=\angle AHC\Rightarrow AOHC\) nội tiếp

b) Vì AOHC nội tiếp \(\Rightarrow\angle CHO=180-\angle CAO=180-\angle CAB=\angle CNB\)(CANB nội tiếp)

c) Xét \(\Delta CHM\) và \(\Delta ACM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CHM=\angle ACM=90\\\angle CMAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CHM\sim\Delta ACM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HM}{CM}=\dfrac{CM}{MA}\)

Xét \(\Delta BNM\) và \(\Delta ACM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BMN=\angle AMC\\\angle CAM=\angle MBN\left(ACNBnt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BNM\sim\Delta ACM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MN}{BM}=\dfrac{CM}{MA}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{BM}=\dfrac{MH}{CM}\) mà \(BM=CM\Rightarrow MH=MN\)

\(\Rightarrow BHCN\) là hình bình hành (2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\Rightarrow\angle IHB=\angle ICN=90-\angle CNA=90-\angle CBA=45\) (C là điểm chính giữa)

mà \(\angle IHO=\angle CAO=45\Rightarrow\angle OHB=90\Rightarrow OH\bot HB\)

Ta có: \(CH^2=AH.HM\Rightarrow AH=\dfrac{CH^2}{HM}=\dfrac{NB^2}{\dfrac{1}{2}HN}=\dfrac{2BN^2}{HN}\)

Lại có: \(\angle NHB=90-\angle BHI=90-45=45\Rightarrow\Delta NHB\) vuông cân

\(\Rightarrow BN=HN\Rightarrow AH=\dfrac{2BN^2}{BN}=2BN=BN+HN\)

d) Vì \(\angle OHI=\angle BHI=45\Rightarrow HI\) là phân giác \(\angle OHB\)

\(\Rightarrow\dfrac{IO}{IB}=\dfrac{OH}{HB}\)

Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta CHA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CHA=\angle OHB=90\\\angle ACH=\angle HOB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta OHB\sim\Delta CHA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{OH}{HB}=\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BN}{BN+HN}=\dfrac{BN}{2BN}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{IO}{IB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IB=2IO\)

a) (d) đi qua \(A\left(1;5\right)\Rightarrow5=2m+2m-3\Rightarrow4m=8\Rightarrow m=2\)

\(\Rightarrow y=4x+1\)

b) pt hoành độ giao điểm \(x^2-2mx-2m+3=0\)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì pt có nghiệm kép \(\Delta=0\)

\(\Delta=\left(2m\right)^2+8m-12=4m^2+8m-12\)

\(\Rightarrow4m^2+8m-12=0\Rightarrow m^2+2m-3=0\Rightarrow\left(m-1\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=11\\\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{15}y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}y=\dfrac{11}{10}\left(1\right)\\\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{15}y=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{1}{30}x=\dfrac{1}{10}\Rightarrow x=3\Rightarrow y=11-3=8\)