Gọi vận tốc  xe ô tô du lịch và tải lần lượt là a (km/h) \((a>0)\), t là thời gian đi quãng đường AB của xe du lịch \((t>0)\)

Theo đề,ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}a+ta=t\left(a+10\right)\\t\left(a+10\right)=100\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}a=10t\\ta+10t=100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=20t\\ta+10t=100\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow20t^2+10t=100\Rightarrow2t^2+t-10=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(2t+5\right)=0\)

mà \(t>0\Rightarrow t=2(h)\Rightarrow a=40\)

\(\Rightarrow\) thời gian đi quãng đường AB của ô tô tải là \(\dfrac{100}{40}=\dfrac{5}{2}h\)

\(\left(\dfrac{x+3}{x-9}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{x+3-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là a(km/h) \((a>0)\)

Theo đề,ta có: \(\dfrac{30}{a}-1=\dfrac{30}{a+5}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{30-a}{a}=\dfrac{30}{a+5}\Rightarrow\left(30-a\right)\left(a+5\right)=30a\)

\(\Leftrightarrow30a+150-a^2-5a=30a\Leftrightarrow a^2+5a-150=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-10\right)\left(a+15\right)=0\)

mà \(a>0\Rightarrow a=10\)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 10km/h

a) Ta có: \(\angle BHM+\angle BIM=90+90=180\Rightarrow\) MHBI nội tiếp

Ta có: \(\angle MIC=\angle MKC=90\Rightarrow\) MIKC nội tiếp

Ta có: \(\angle MHA+\angle MKA=90+90=180\Rightarrow\) MHAK nội tiếp

b) Ta có: \(\angle MHK=\angle MAK =\angle MAC=\angle MBC\)

Tương tự \(\Rightarrow \angle MKH=\angle MCB\)

Xét \(\Delta MHK\) và \(\Delta MBC\): Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MHK=\angle MBC\\\angle MKH=\angle MCB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \Delta MHK\sim \Delta MBC (g-g)\)

c) Ta có: MHBI nội tiếp \(\Rightarrow \angle BIH=\angle BMH=90-\angle HBM\)

MIKC nội tiếp \(\Rightarrow \angle KIC=\angle KMC=90-\angle ACM\)

mà \(\angle ACM=\angle HBM \) do ABMC nội tiếp \(\Rightarrow \angle BIH=\angle KIC \)

ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne4,9,1\)

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{-x+3\sqrt{x}-2}\)

a) Vì MA,MC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow MA=MC\) mà \(OA=OC\)

\(\Rightarrow MO\) là trung trực của AC \(\Rightarrow MO\bot AC\)

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow \angle ADB=90\) mà \(\angle AEM=90\Rightarrow\) MAED nội tiếp

b) Vì MC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow \angle MCD=\angle MBC\)

Xét \(\Delta MCD\) và \(\Delta MBC\): Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MCD=\angle MBD\\\angle BMCchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\)\(\Rightarrow\)\(MC^2=MB.MD\)

c) Gọi F là giao điểm của BD và CH

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}CH\bot AB\\MA\bot AB\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow CH\parallel AM\Rightarrow \angle FCE=\angle MAC=\angle FDE\)

\(\Rightarrow\) FEDC nội tiếp \(\Rightarrow \angle CEF=\angle CDF=\angle CDB=\angle CAB\)

\(\Rightarrow EF\parallel AB\) mà E là trung điểm BC \(\Rightarrow\) F là trung điểm CH

Ta có: \(\angle HFC+\angle HDC=90+90=180\Rightarrow\) HDCF nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow BEHF,BEDC\) nội tiếp

Ta có: \(\angle AEH + \angle ADH =90+90=180\Rightarrow \) AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH \(\Rightarrow \) M là tâm của (AEHD) \(\Rightarrow \angle MDH=\angle MHD= \angle DCF\) 

Lại có: \(\angle HDO=\angle HBO (\Delta DBO \) cân tại O)

mà \(\angle DBC+\angle DCB=90\Rightarrow \angle MDH+\angle HDO=90\Rightarrow\angle MDO=90\)

mà \(\angle MFO=90\Rightarrow \) MDFO nội tiếp

Tương tự \(\Rightarrow \angle MEO=90\Rightarrow\) MEFO nội tiếp \(\Rightarrow \) M,D,F,E,O cùng thuộc 1 đường tròn \(\Rightarrow\) MDFE nội tiếp \(\Rightarrow \angle MDK=\angle MFE\)

Ta có: \(\angle EFH=\angle EBH =\angle ECD=\angle HFD\Rightarrow \angle MDK=\angle MFD\)

Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MFD\): Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MDK=\angle MFD\\\angle FMDchung\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta MDK\sim \Delta MFD (g-g)\Rightarrow \)\(\dfrac{MD}{MK}=\dfrac{MF}{MD}\)\(\Rightarrow\)\(MD^2=MK.MF\)