Đặt \(f\left(x\right)=-x^3+ax^2+bx+c\)

Đồ thị hàm số f(x) đi qua A(0;-1) và M(2;-2)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=-1\\f\left(2\right)=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\4a+2b=7\end{matrix}\right.\)       (1)

Có \(f'\left(x\right)=-3x^2+2ax+b\)

Đồ thị hàm số f(x) có M(2;-2) là điểm cực đại

\(\Rightarrow f'\left(2\right)=0\) \(\Leftrightarrow4a+b=12\)                  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{17}{4}\\b=-5\\c=-1\end{matrix}\right.\)

Có \(\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}=\overrightarrow{0}\)   \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{B_1}\uparrow\downarrow\overrightarrow{B_2}\\\left|B_1\right|=\left|B_2\right|\end{matrix}\right.\)  

=> I₁ ngược chiều I₂ 

+ B₁ = B₂ \(\Rightarrow2\cdot10^{-7}.\dfrac{I_1}{r_1}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{I_2}{r_2}\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{I_2\cdot r_1}{r_2}=\dfrac{1\cdot\left(32+8\right)}{8}=5\left(A\right)\)

Cho mạch điện như hình vẽ, trong đó \(R_1=15\Omega,R_2=10\Omega,R_3=18\Omega,R_4=9\Omega\). Hai đèn \(Đ_1,Đ_2\) có điện trở bằng nhau. Biết khi mắc 2 đầu A và B nguồn điện \(\xi=\xi_1=30V\), \(r=r_1=2\Omega\) hoặc nguồn \(\xi=\xi_2=36V\), \(r=r_2=4\Omega\) thì công suất mạch ngoài vẫn bằng 72W và 2 bóng đèn đều sáng bình thường.

a, Tính công suất và HĐT định mức của mỗi đèn. Dùng nguồn nào có lợi hơn?

b, Thay 2 nguồn trên bằng nguồn mới \(\xi_3,r_3\) sao cho hiệu suất của nguồn bằng 50% và 2 đèn đều sáng bình thường. Tính \(\xi_3,r_3\)

Thử n=1 là thấy sai đề nha

\(P\left(n\right)=2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)     (1)

\(n=1\) ta có: \(P\left(n\right)=2^2=\dfrac{2\cdot2\cdot3}{3}=4\)    => (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n tức là \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)

Ta sẽ c/m (1) đúng với n+1

Có \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2+\left(2n+2\right)^2\)

\(=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}+4\left(n+1\right)^2\)

\(=\left(n+1\right)\dfrac{2n\left(2n+1\right)+12\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{\left[2n+2\right]\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{3}\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

\(2021-\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\left(1-1\right)+\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{2021}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+...+\dfrac{2020}{2021}\)

\(lim\dfrac{2^n-4\cdot3^n}{2\cdot3^n-1}=lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-4}{2-\dfrac{1}{3^n}}=-\dfrac{4}{2}=-2\)

=> đáp án A

a) \(2+4+6+...+2n=n\left(n+1\right)\)       (1)

\(n=1\) ta có : \(2=1\cdot\left(1+1\right)\)  ( đúng)

Giả sử (1) đúng đến n, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n+1

Có \(2+4+6+...+2n+2\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

b) sai đề nha, mình search google thì được như này =))

 \(1^3+3^3+5^3+...+\left(2n-1\right)^2=n^2\left(2n^2-1\right)\)     (2)

\(n=1\) ta có : \(1^3=1^2\cdot\left(2-1\right)\)   (đúng) 

giả sử (2) đúng đến n, tức là \(1^3+3^3+...+\left(2n-1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)\)

Ta c/m (2) đúng với n+1

Có \(1^3+3^3+...+\left(2n+1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)+\left(2n+1\right)^3\)

\(=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\)

\(=\left(n^2+2n+1\right)\left(2n^2+4n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)^2\left[2\left(n+1\right)^2-1\right]\)   => (2) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

mình góp ý 1 chút là bài này k có đk a,b,c k âm nên áp dụng trực tiếp Co-si như thế được nha bạn

\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{1}{2}\)

Ta c/m: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( luôn đúng \(\forall a,b,c\)) 

Do đó \(ab+bc+ca\le1\)

Có \(C^{13}_{52}\) cách chọn 13 lá bài bất kì trong bộ bài 52 lá 

\(\Rightarrow n\left(\Omega\right)=C^{13}_{52}\)

Gọi A là biến cố "Chọn được 13 lá bài toàn quân cơ trong bộ bài 52 lá"
\(\Rightarrow n\left(A\right)=1\)

\(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\Omega}=\dfrac{1}{C^{13}_{52}}\)