Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\:}+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)

Nếu \(a< 0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(-\infty;+\infty\right)\), với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm

Nếu \(a>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-24x^2-4x+1}{\sqrt{x^2-4x+1}+5x}\) \(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-24x-4+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+5}=-\infty\)

Cho \(P\left(x\right)=x^{16}+a_{15}x^{15}+a_{14}x^{14}+...+a_1x+a_0\), với \(a_i\in\left\{4,8,12,16\right\},\forall i=\overline{1,15}\). Chứng minh: \(P\left(x\right)+1\) bất khả quy trên Z[x].

Ta có : \(C^k_{2n+1}=C^{2n+1-k}_{2n+1}\)

\(\Rightarrow2VT=C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}+...+C^{2n}_{2n+1}=2^{21}-2\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-C^0_{2n+1}-C^{2n+1}_{2n+1}=2^{21}-2\)

\(\Leftrightarrow2n+1=21\Leftrightarrow n=10\)

\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+1}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{2n+1}{n\left(n+1\right)}\right)=\dfrac{3n^2+n-1}{4n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{3n^2+n-1}{4n^2+4n}=lim\dfrac{3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{4+\dfrac{4}{n}}=\dfrac{3}{4}\)

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , AD = AB = BC. (K) là đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với AD, BC. P là điểm thuộc (K) và nằm trong hình thang . PA, PB lần lượt cắt CD tại E, F. BE, AF theo thứ tự cắt AD, BC ở M, N. Chứng minh rằng PM = PN.

1. Cho dãy \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(lim\frac{u_{n+1}}{u_n}=x\). Cmr: \(lim\sqrt[n]{u_n}=x\)

( sử dụng định nghĩa )

2. Cho dãy \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a_0=a\\a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n-\frac{1}{n},\forall n\in N\end{matrix}\right.\)

Tìm a để dãy \(\left(a_n\right)\) hội tụ

12 = 3 + ?

coi số cần tìm là x :

12 = 3 + x 

   x = 12 - 3

   x = 9

Vậy số cần tìm đó là : 9

12 = 3 + 9