Sửa đề: tính \(D=\frac{1+x}{2x-1}\)

|x-1|=3

=>x-1=3 hoặc x-1=-3

=>x=4 hoặc x=-2

Khi x=4 thì \(D=\frac{1+x}{2x-1}=\frac{1+4}{2\cdot4-1}=\frac57\)

Khi x=-2 thì \(D=\frac{1+x}{2x-1}=\frac{1+\left(-2\right)}{2\cdot\left(-2\right)-1}=\frac{-1}{-5}=\frac15\)

a: ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a

=>AB=BC=CD=DA=AC=a=BD

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=a\cdot a\cdot cos\left(\hat{BAD}\right)-a\cdot a\cdot cos\left(\hat{BAC}\right)\)

\(=a^2\cdot cos60-a^2\cdot cos60=0\)

=>\(\hat{AB;CD}=90^0\)

\(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(=AD\cdot AC\cdot cosDAC-AD\cdot AB\cdot cosDAB=a\cdot a\cdot cos60-a\cdot a\cdot cos60\)

=0

=>\(\hat{AD;BC}=90^0\)

b: Vì \(\hat{BAC}=60^0\)

nên \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=60^0\)

a: TH1: m=-1

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1-1\right)x+\left(-1\right)-2=0\)

=>4x-3=0

=>4x=3

=>x=3/4

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\left(m+1\right)\left(m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1-m^2+m+2\right)=4\left(-m+3\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4(-m+3)>0

=>-m+3>0

=>-m>-3

=>m<3

=>m<3 và m<>-1

b: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(\left(m+1\right)\cdot2^2-2\left(m-1\right)\cdot2+m-2=0\)

=>4m+4-4(m-1)+m-2=0

=>5m+2-4m+4=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{m+1}\)

=>\(x_2+2=\frac{2\left(-6-1\right)}{-6+1}=\frac{2\cdot\left(-7\right)}{-5}=2\cdot\frac75=\frac{14}{5}\)

=>\(x_2=\frac{14}{5}-2=\frac45\)

c: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=\frac74\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=\frac74\)

=>8(m-1)=7(m-2)

=>8m-8=7m-14

=>8m-7m=-14+8

=>m=-6

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1\)

=>\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}:\frac{m-2}{m+1}=1\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=1\)

=>2m-2=m-2

=>m=0

\(x_1^2+x_2^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)

=>\(\frac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}-2\cdot\frac{m-2}{m+1}=2\)

=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(m-2\right)\left(m+1\right)=2\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)

=>\(2\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-m-2\right)=m^2+2m+1\)

=>\(2m^2-4m+2-m^2+m+2=m^2+2m+1\)

=>-3m+4=2m+1

=>-5m=-3

=>m=3/5

d: \(3\left(x_1+x_2\right)=5x_1x_2\)

=>\(3\cdot\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}=5\cdot\frac{\left(m-2\right)}{m+1}\)

=>6(m-1)=5(m-2)

=>6m-6=5m-10

=>m=-4

a: Thay \(x=\sqrt2\) vào phương trình, ta được:

\(\left(m-4\right)\cdot\left(\sqrt2\right)^2-2m\cdot\sqrt2+m+2=0\)

=>2(m-4)+m+2-2m\(\sqrt2\) =0

=>\(2m-8+m-2m\sqrt2+2=0\)

=>\(m\left(3-2\sqrt2\right)=6\)

=>\(m=\frac{6}{3-2\sqrt2}=6\left(3+2\sqrt2\right)=18+12\sqrt2\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m}{m-4}=\frac{2\left(18+12\sqrt2\right)}{18+12\sqrt2-4}=\frac{12\left(3+2\sqrt2\right)}{12+12\sqrt2}=\frac{3+2\sqrt2}{\sqrt2+1}=\sqrt2+1\)

=>\(x_2=\sqrt2+1-\sqrt2=1\)

b: TH1: m=4

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(4-4\right)x^2-2\cdot4\cdot x+4+2=0\)

=>-8x+6=0

=>-8x=-6

=>x=3/4

=>Nhận

TH2: m<>4

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m-4\right)\left(m+2\right)\)

\(=4m^2-4\left(m^2-2m-8\right)=4m^2-4m^2+8m+32=8m+32\)

Để phương trình có nghiệm thì Δ>=0

=>8m+32>=0

=>m+4>=0

=>m>=-4

=>m>=-4 và m<>4

c: Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m}{m-4};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m+2}{m-4}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\frac{4m^2}{\left(m-4\right)^2}-2\cdot\frac{m+2}{m-4}=\frac{4m^2-2\left(m+2\right)\left(m-4\right)}{\left(m-4\right)^2}\)

\(=\frac{4m^2-2\left(m^2-2m-8\right)}{\left(m-4\right)^2}=\frac{2m^2+4m+16}{\left(m-4\right)^2}\)

e: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(=\frac{2m}{m-4}:\frac{m+2}{m-4}=\frac{2m}{m+2}\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\frac{2m^2+4m+16}{\left(m-4\right)^2}:\frac{\left(m+2\right)^2}{\left(m-4\right)^2}=\frac{2m^2+4m+16}{\left(m+2\right)^2}\)

Bài 10:

a: Ta có: \(\hat{ADB}+\hat{ABD}=90^0\) (ΔABD vuông tại A)

\(\hat{HIB}+\hat{HBI}=90^0\) (ΔHBI vuông tại H)

mà \(\hat{ABD}=\hat{HBI}\) (BD là phân giác của góc ABC)

nên \(\hat{ADB}=\hat{HIB}\)

mà \(\hat{HIB}=\hat{AID}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AID}=\hat{ADI}\)

=>ΔADI cân tại A

b: Xét ΔBAI và ΔBCD có

\(\hat{BAI}=\hat{BCD}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

\(\hat{ABI}=\hat{CBD}\)

Do đó: ΔBAI~ΔBCD

d: DK⊥BC

AH⊥BC

Do đó: AH//DK

=>AI//DK

=>AIKD là hình thang

a: \(M=\frac{53\cdot71-18}{71\cdot52+53}\)

\(=\frac{71\cdot52+71-18}{71\cdot52+53}=\frac{71\cdot52+53}{71\cdot52+53}=1\)

\(N=\frac{54\cdot107-53}{53\cdot107+54}\)

\(=\frac{53\cdot107+107-53}{53\cdot107+54}=\frac{53\cdot107+54}{53\cdot107+54}\)

=1

=>M=N

b: \(A=\frac{7\cdot9+14\cdot27+21\cdot36}{21\cdot27+42\cdot81+63\cdot108}\)

\(=\frac{7\cdot9\cdot\left(1+2\cdot3+3\cdot4\right)}{21\cdot27\cdot\left(1+2\cdot3+3\cdot4\right)}=\frac{7}{21}\cdot\frac{9}{27}=\frac13\cdot\frac13=\frac19\)

\(B=\frac{37}{333}=\frac{37}{37\cdot9}=\frac19\)

Do đó: A=B

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{abcde}\)

Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số ban đầu thì được số mới gấp 3 lần số tạo thành khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó nên ta có:

\(\overline{abcde1}=3\cdot\overline{1abcde}\)

=>\(10\cdot\overline{abcde}+1=3\cdot\left(100000+\overline{abcde}\right)\)

=>\(10\cdot\overline{abcde}+1=300000+3\cdot\overline{abcde}\)

=>\(7\cdot\overline{abcde}=299999\)

=>\(\overline{abcde}=42857\)

Vậy: Số cần tìm là 42857

Gọi thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là x(giờ)

(Điều kiện: x>0)

thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là x+2(giờ)

Trong 1 giờ, vòi A chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể)

Trong 1 giờ, vòi B chảy được: \(\frac{1}{x+2}\) (bể)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+2+x}{x\left(x+2\right)}=\frac{2x+2}{x\left(x+2\right)}\)

Thời gian hai vòi cần có để cùng chảy đầy bể là:

\(1:\frac{2x+2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{2x+2}\)

THeo đề, ta có: \(x\left(x+2\right)=4\cdot\frac{x\left(x+2\right)}{2x+2}\)

=>\(\frac{4}{2x+2}=1\)

=>2x+2=4

=>2x=2

=>x=1(nhận)

Vậy: thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là 1(giờ)

thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là 1+2=3(giờ)

Ta có: \(3\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

Do đó: \(3\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

=>\(3\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2005\ge2005\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-1=0

=>x=3 và y=1

1: Sửa đề: CD⊥CB

N nằm trên đường trung trực của BC

=>NB=NC

=>ΔNBC cân tại N

=>\(\hat{NBC}=\hat{NCB}\)

Ta có: \(\hat{NBC}+\hat{NBA}=\hat{ABC}=90^0\)

\(\hat{NCB}+\hat{NAB}=90^0\) (ΔCBA vuông tại B)

mà \(\hat{NBC}=\hat{NCB}\) (ΔNBC cân tại N)

nên \(\hat{NBA}=\hat{NAB}\)

=>NB=NA

mà NC=NB

và ND=NA

nên NA=NB=NC=ND

Xét ΔNBA và ΔNDC có

NB=ND

\(\hat{BNA}=\hat{DNC}\) (hai góc đối đỉnh)

NA=NC

Do đó: ΔNBA=ΔNDC

=>\(\hat{NBA}=\hat{NDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BA//DC

mà BA⊥BC

nên CD⊥CB

2: ΔNBA=ΔNDC

=>BA=DC

Xét ΔABC vuông tại B và ΔDCB vuông tại C có

AB=DC

BC chung

Do đó: ΔABC=ΔDCB