Bài 10:

a: Ta có: \(\hat{ADB}+\hat{ABD}=90^0\) (ΔABD vuông tại A)

\(\hat{HIB}+\hat{HBI}=90^0\) (ΔHBI vuông tại H)

mà \(\hat{ABD}=\hat{HBI}\) (BD là phân giác của góc ABC)

nên \(\hat{ADB}=\hat{HIB}\)

mà \(\hat{HIB}=\hat{AID}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AID}=\hat{ADI}\)

=>ΔADI cân tại A

b: Xét ΔBAI và ΔBCD có

\(\hat{BAI}=\hat{BCD}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

\(\hat{ABI}=\hat{CBD}\)

Do đó: ΔBAI~ΔBCD

d: DK⊥BC

AH⊥BC

Do đó: AH//DK

=>AI//DK

=>AIKD là hình thang

a: \(M=\frac{53\cdot71-18}{71\cdot52+53}\)

\(=\frac{71\cdot52+71-18}{71\cdot52+53}=\frac{71\cdot52+53}{71\cdot52+53}=1\)

\(N=\frac{54\cdot107-53}{53\cdot107+54}\)

\(=\frac{53\cdot107+107-53}{53\cdot107+54}=\frac{53\cdot107+54}{53\cdot107+54}\)

=1

=>M=N

b: \(A=\frac{7\cdot9+14\cdot27+21\cdot36}{21\cdot27+42\cdot81+63\cdot108}\)

\(=\frac{7\cdot9\cdot\left(1+2\cdot3+3\cdot4\right)}{21\cdot27\cdot\left(1+2\cdot3+3\cdot4\right)}=\frac{7}{21}\cdot\frac{9}{27}=\frac13\cdot\frac13=\frac19\)

\(B=\frac{37}{333}=\frac{37}{37\cdot9}=\frac19\)

Do đó: A=B

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{abcde}\)

Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số ban đầu thì được số mới gấp 3 lần số tạo thành khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó nên ta có:

\(\overline{abcde1}=3\cdot\overline{1abcde}\)

=>\(10\cdot\overline{abcde}+1=3\cdot\left(100000+\overline{abcde}\right)\)

=>\(10\cdot\overline{abcde}+1=300000+3\cdot\overline{abcde}\)

=>\(7\cdot\overline{abcde}=299999\)

=>\(\overline{abcde}=42857\)

Vậy: Số cần tìm là 42857

Gọi thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là x(giờ)

(Điều kiện: x>0)

thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là x+2(giờ)

Trong 1 giờ, vòi A chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể)

Trong 1 giờ, vòi B chảy được: \(\frac{1}{x+2}\) (bể)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+2+x}{x\left(x+2\right)}=\frac{2x+2}{x\left(x+2\right)}\)

Thời gian hai vòi cần có để cùng chảy đầy bể là:

\(1:\frac{2x+2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{2x+2}\)

THeo đề, ta có: \(x\left(x+2\right)=4\cdot\frac{x\left(x+2\right)}{2x+2}\)

=>\(\frac{4}{2x+2}=1\)

=>2x+2=4

=>2x=2

=>x=1(nhận)

Vậy: thời gian vòi A chảy một mình đầy bể là 1(giờ)

thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là 1+2=3(giờ)

Ta có: \(3\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

Do đó: \(3\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

=>\(3\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2005\ge2005\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-1=0

=>x=3 và y=1

1: Sửa đề: CD⊥CB

N nằm trên đường trung trực của BC

=>NB=NC

=>ΔNBC cân tại N

=>\(\hat{NBC}=\hat{NCB}\)

Ta có: \(\hat{NBC}+\hat{NBA}=\hat{ABC}=90^0\)

\(\hat{NCB}+\hat{NAB}=90^0\) (ΔCBA vuông tại B)

mà \(\hat{NBC}=\hat{NCB}\) (ΔNBC cân tại N)

nên \(\hat{NBA}=\hat{NAB}\)

=>NB=NA

mà NC=NB

và ND=NA

nên NA=NB=NC=ND

Xét ΔNBA và ΔNDC có

NB=ND

\(\hat{BNA}=\hat{DNC}\) (hai góc đối đỉnh)

NA=NC

Do đó: ΔNBA=ΔNDC

=>\(\hat{NBA}=\hat{NDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BA//DC

mà BA⊥BC

nên CD⊥CB

2: ΔNBA=ΔNDC

=>BA=DC

Xét ΔABC vuông tại B và ΔDCB vuông tại C có

AB=DC

BC chung

Do đó: ΔABC=ΔDCB

Gọi x là số học sinh nữ đạt loại giỏi

(Điều kiện: x∈N*)

Số học sinh nữ đạt loại khá là 20-x(bạn)

Số học sinh nam đạt loại giỏi là 20-x(bạn)

Tổng số học sinh giỏi là:

20-x+x=20(bạn)

a: Thay m=-5 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-5+1\right)x+\left(-5\right)-4=0\)

=>\(x^2-2\cdot\left(-4\right)x-9=0\)

=>\(x^2+8x-9=0\)

=>(x+9)(x-1)=0

=>x=-9 hoặc x=1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\left(m-4\right)\)

\(=4\left(m^2+2m+1\right)-4\left(m-4\right)=4\left(m^2+2m+1-m+4\right)\)

\(=4\left(m^2+m+5\right)=4\left(m^2+m+\frac14+\frac{19}{4}\right)=4\left(m+\frac12\right)^2+19>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì ac<0

=>m-4<0

=>m<4

d: Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m+1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=m-4\)

Để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\begin{cases}x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>m+1>0 và m-4>0

=>m>4

e: \(A=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\)

\(=\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)

=2(m+1)-2(m-4)

=2(m+1-m+4)=10

=>A không phụ thuộc vào biến m

f: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m+16=4m^2+4m+20\)

=>\(x_1-x_2=\pm\sqrt{4m^2+4m+20}=\pm2\cdot\sqrt{m^2+m+5}\)

a: Sửa đề: Tính số đo góc MPN

ΔMPN vuông tại M

=>\(\hat{MPN}+\hat{MNP}=90^0\)

=>\(\hat{MPN}=90^0-60^0=30^0\)

b: Xét ΔQPM vuông tại P và ΔNMP vuông tại M có

QP=NM

PM chung

Do đó: ΔQPM=ΔNMP

=>\(\hat{QMP}=\hat{NPM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên QM//PN

c: ΔQPM=ΔNMP

=>\(\hat{N}=\hat{Q}\)

Xét ΔMIN vuông tại I và ΔPJQ vuông tại J có

MN=PQ

\(\hat{N}=\hat{Q}\)

Do đó: ΔMIN=ΔPJQ

=>NI=QJ

a: E là điểm chính giữa của cung lớn AB

=>sđ cung EA=sđ cung EB

=>OE⊥AB tại D

=>EF⊥AB

Xét (O) có

EF là đường kính

AB là dây

EF⊥AB tại D

E là điểm chính giữa của cung lớn AB

Do đó: F là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

=>sđ cung FA=sđ cung FB

Xét (O) có \(\hat{AKI}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AI và FB

=>\(\hat{AKI}=\frac12\) (sđ cung AI+sđ cung FB)

=1/2(sđ cung AI+sđ cung AF)

=1/2*sđ cung FI

=\(\hat{FEI}\)

=>\(\hat{CKI}=\hat{CED}\)

mà \(\hat{CKI}+\hat{DKI}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{DKI}+\hat{DEI}=180^0\)

=>D,K,I,E cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔCKI và ΔCED có

\(\hat{CKI}=\hat{CED}\)

góc KCI chung

Do đó: ΔCKI~ΔCED
=>\(\frac{CK}{CE}=\frac{CI}{CD}\)

=>\(CK\cdot CD=CE\cdot CI\)