áp dụng BĐT cô si dạng engel cho 3 số dương, ta có:

\(\dfrac{\left(2b+3c\right)^2}{a}+\dfrac{\left(2c+3a\right)^2}{b}+\dfrac{\left(2a+3b\right)^2}{c}\ge\dfrac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)

mấy cái đây chỉ cần áp dụng hằng đẳng thức thôi nhé!!!
câu a hình như là 2xy chứ ko phải 4xy nhé bạn

nhớ sửa lại !!!

\(\dfrac{x-3}{5}+1>2x-5\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-3}{5}+\dfrac{5}{5}>\dfrac{10x}{5}-\dfrac{25}{5}\\ \Leftrightarrow x-3+5>10x-25\\ \Leftrightarrow27>9x\\ \Leftrightarrow x< 3\)

vậy ..............

a).

\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\\ =a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)-a^3-b^3-c^3\\ =3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

b).

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1\)

đặt: \(t=x^2+3x+1\) khi đó:

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1\\ =t^2-1+1=t^2\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

\(\left(3x+2\right)\left(2x+9\right)-\left(x+2\right)\left(6x+1\right)=\left(x+1\right)-\left(x-6\right)\\ \Leftrightarrow6x^2+31x+18-\left(6x^2+13x+2\right)-x-1+x-6=0\\ \Leftrightarrow28x+9=0\\ 28x=-9\\ x=-\dfrac{9}{28}\)

vậy......

\(\dfrac{x+2}{13}+\dfrac{2x+45}{15}=\dfrac{3x+8}{37}+\dfrac{4x+69}{9}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+2}{13}+1+\dfrac{2x+45}{15}-1=\dfrac{3x+8}{37}+1+\dfrac{4x+69}{9}-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+15}{13}+\dfrac{2x+30}{15}=\dfrac{3x+45}{37}+\dfrac{4x+60}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+15\right)\dfrac{1}{13}+\left(x+15\right)\dfrac{2}{15}=\left(x+15\right)\dfrac{3}{37}+\left(x+15\right)\dfrac{4}{9}\\ \Leftrightarrow\left(x+15\right)\left(\dfrac{1}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{3}{37}-\dfrac{4}{9}\right)=0\)

vì:\(\dfrac{1}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{3}{37}-\dfrac{4}{9}\ne0\) nên:

x+15=0 =>x=-15

vậy phương trình có tập nghiệm là S={-15}

sửa đề: tìm giá trị lớn nhất.

\(\dfrac{2x+1}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}\\ =1-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)

vì\(-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le0\Rightarrow1-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x+1}{x^2+2}\le1\)

dấu "=" xảy ra khi x-1=0 => x=1

vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 1 tại x=1

tìm giá trị lớn nhất nhé!!!

\(A=\dfrac{x-1}{x^2}=\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\)

đặt \(t=\dfrac{1}{x}\Rightarrow t^2=\dfrac{1}{x^2}\) khi đó:

\(A=t-t^2=0+t-t^2\)

khi đó A là 1 tam thức bậc 2, ta áp dụng công thức:

\(ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)

ta được:

\(A=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{4.\left(-1\right).0-1^2}{-4}\le\dfrac{4.\left(-1\right).0-1^2}{-4}=\dfrac{1}{4}\)

dấu bằng xảy ra khi \(t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=2\)

vậy GTLN của A là 1/4 tại x=2

\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=n^2+3n-4-n^2+3n+4\\ =6n\)

vì: \(6n⋮6\left(với\:n\in Z\right)\) nên \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)⋮6\left(với\: n\in Z\right)\)

câu b mình nghĩ đề là như vầy: \(x^4-2x^3+x^2-2x=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^3+x\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-2=0\Rightarrow x=2\\x^2+1=0\end{matrix}\right.\)

\(x^2+1>0\left(với\:mọi\:x\right)\)

vậy phương trình có tập nghiệm là S={0;2}