Từ \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{x+y+z-z}{z\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{zx+zy+z^2+xy}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

Ta có: x⁸ - y⁸ = (x + y)(x - y)(x² + y²)(x⁴ + y⁴)

y⁹ + z⁹ = (y + z)(y⁸ - y⁷z + y⁶z² - ... + z⁸)

z¹⁰ - x¹⁰ = (z + x)(z⁴ - z³x + z²x² - zx³ + z⁴)(z⁵ - x⁵)

Vậy M = \(\dfrac{3}{4}\) + (x + y)(y + z)(z + x) = \(\dfrac{3}{4}\)

Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)=2007\) (1)

\(\left(y+\sqrt{y^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007\) (2)

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được và ta kết hợp với giả thiết ta được:

\(2007\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007^2\)

\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2007}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2007}\right)=2007\)

\(\Rightarrow xy-x\sqrt{y^2+2007}-y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\) (3)

Giả thiết

\(xy+x\sqrt{y^2+2007}+y\sqrt{x^2+2007}+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}\) (4)

Cộng theo vế (3) và (4) ta được:

\(xy+\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2007\right)\left(y^2+2007\right)}=2007-xy\)

\(\Rightarrow x^2y^2+2007\left(x^2 +y^2\right)+2007^2=2007^2-2.2007xy+x^2y^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Rightarrow S^2=0\Rightarrow S=0\)

A = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}\)

= \(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{9}-\sqrt{7}+...+\sqrt{99}-\sqrt{97}\right)\)

= \(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{99}-\sqrt{3}\right)\)

B = 35 + 335 + 3335 + ... + 3333...(99 số 3)35

= 33 + 2 + 333 + 2 + 3333 + 2 + ... + 333...33 + 2

= 2 . 99 + (33 + 333 + 3333 + ... + 333...3)

= 198 + \(\dfrac{1}{3}\)(99 + 999 + 9999 + ... + 999...99)

= 198 + \(\dfrac{1}{3}\)(10² - 1 + 10³ - 1 + 10⁴ - 1 + ... + 10¹⁰⁰ - 1)

= \(\left(\dfrac{10^{101}-10^2}{27}\right)+165\)

Giải

Giả sử \(\Delta ABC\) vuông tại A, có AB : AC = 5 : 6 và BC = 122cm (hình vẽ)

Vì AB : AC = 5 : 6 nên \(\dfrac{AB}{5}=\dfrac{AC}{6}=k\) ;

suy ra AB = 5k, AC = 6k.

\(\Delta ABC\) vuông tại A, theo định lý Py-ta-go, ta có:

AB² + AC² = BC² hay

(5k)² + (6k)² = 122²

=> 61k² = 122²

=> k² = 244

=> k \(\approx\) 15,62

Vậy AB \(\approx\) 15,62 . 5 = 78,1 (cm)

AC \(\approx\) 15,62 . 5 = 93,72 (cm)

Kẻ AH \(\perp\) BC. Theo hệ thức lượng về cạnh góc vuông với hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:

AB² = BH . BC, suy ra \(BH=\dfrac{AB^2}{BC}\approx\dfrac{78,1^2}{122}=\dfrac{6099,61}{122}\approx50\) (cm)

AC² = HC . BC, suy ra \(HC=\dfrac{AC^2}{BC}\approx\dfrac{93,72^2}{122}=\dfrac{8783,44}{122}\approx72\) (cm)

Trả lời: Độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là: BH \(\approx\) 50cm ; HC \(\approx\) 72cm

Điều kiện xác định của biểu thức:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\2-\sqrt{a}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\\sqrt{a}\ne2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{16-a^2}{2-\sqrt{a}}=\dfrac{\left(4+a\right)\left(4-a\right)}{2-\sqrt{a}}=\dfrac{\left(4+a\right)\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)}{2-\sqrt{a}}=\left(4+a\right)\left(2+\sqrt{a}\right)\)

Ta có x = 2 + \(\sqrt{3}\), do đó:

\(\left(x-1\right)\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}-1\right)\sqrt{3}=\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{3}\)

\(\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2-\left(2+\sqrt{3}\right)+1}=\sqrt{7+4\sqrt{3}-2-\sqrt{3}+1}=\sqrt{6+3\sqrt{3}}=\sqrt{3\left(2+\sqrt{3}\right)}=\sqrt{3}.\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Vậy M = \(\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right).\left(2-\sqrt{3}\right)}}=\dfrac{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right).2\left(2+\sqrt{3}\right)}}{\sqrt{4-3}}=\sqrt{2\left(4-3\right)}=\sqrt{2}\)

a) Điều kiện xác định của phương trình là \(x\ge-\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{5x^2}=2x+1\)

=> 5x² = (2x + 1)²

<=> 5x² = 4x² + 4x + 1

<=> x² - 4x - 1 = 0

<=> (x² - 4x + 4) - 5 = 0

<=> (x - 2)² - (\(\sqrt{5}\))² = 0

<=> (x - 2 + \(\sqrt{5}\))(x + 2 - \(\sqrt{5}\)) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2+\sqrt{5}=0\\x-2-\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2-\sqrt{5}\\x=2+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vì x = 2 - \(\sqrt{5}\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 + \(\sqrt{5}\)

b) Điều kiện xác định của phương trình là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ge0\\x-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1,5\\x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}x\ge1,5}\)

Khi đó, phương trình được đưa về dạng:

\(\dfrac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\)

=> \(\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2\)

hay 2x - 3 = 4(x - 1)

<=> 2x = 1 <=> x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện \(x\ge1,5\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Giải

Ta có: \(\sqrt{\dfrac{5}{3}}+\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{8}{\sqrt{15}}\)

Vậy M = \(\sqrt{15\left(\dfrac{8}{15}\right)^2-8.\dfrac{8}{\sqrt{15}}.\sqrt{15}+16}\)

= \(\sqrt{8^2-8^2+16}=\sqrt{16}=4\)

Giải

a) Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\) (1)

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\) (2)

Vì a > 0, b > 0 nên \(2\sqrt{ab}>0\), do đó từ (1) và (2) suy ra

\(\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) hay \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2004 và 2005, ta có

\(\sqrt{2004+2005}< \sqrt{2004}+\sqrt{2005}\)

a) A = \(\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}.\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\)

= \(\sqrt{\left(3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)\left(3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)}\)

= \(\sqrt{3^2-\left(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)^2}\)

= \(\sqrt{9-5-2\sqrt{3}}\)

= \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

= \(\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

= \(\sqrt{3}-1\)

b) B = \(\sqrt{4+\sqrt{8}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

= \(\sqrt{4+\sqrt{4}.\sqrt{2}}.\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right) \left(2-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}\)

= \(\sqrt{4+2\sqrt{2}}.\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2}\)

= \(\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)}.\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

= \(\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}\)

= \(\sqrt{2.2}=2\)