Giải:

Gọi số đơn vị phải thêm là \(a\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{65+a}{135+a}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow5\left(a+65\right)=3\left(a+135\right)\)

\(\Leftrightarrow5a+325=3a+405\)

\(\Leftrightarrow5a-3a=405-325\)

\(\Leftrightarrow2a=80\Rightarrow a=\dfrac{80}{2}=40\)

Vậy số đơn vị cần thêm là \(40\)

Giải:

Dễ thấy:

\(20< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{20}>\dfrac{5}{25}\)

\(21< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{21}>\dfrac{5}{25}\)

\(......................\)

\(24< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{24}>\dfrac{5}{25}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(S>\dfrac{5}{25}+\dfrac{5}{25}+...+\dfrac{5}{25}=\dfrac{5}{25}.5=1\)

Vậy \(S>1\) (Đpcm)

Giải:

Ta có: \(A=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2014.2015.2016}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{2014.2015.2016}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\)\(\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2014.2015}-\dfrac{1}{2015.2016}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2015.2016}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2015.2016}=\dfrac{1}{4}-\) \(\dfrac{1}{2.2015.2016}\)

Mà \(\dfrac{1}{2.2015.2016}>0\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2.2015.2016}< \dfrac{1}{4}\)

Vậy \(A< \dfrac{1}{4}\)

Ta có:

\(\left(\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{8.9.10}\right)x=\dfrac{23}{45}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{8.9.10}\right)x\) \(=\dfrac{23}{45}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{8.9}-\dfrac{1}{9.10}\right)x\) \(=\dfrac{23}{45}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{9.10}\right)x=\dfrac{23}{45}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{11}{45}.x=\dfrac{23}{45}\Leftrightarrow x=\dfrac{23}{45}\div\dfrac{11}{45}=\dfrac{23}{11}\)

Vậy \(x=\dfrac{23}{11}\)

Giải:

Dễ thấy:

\(20< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{20}>\dfrac{5}{25}\)

\(21< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{21}>\dfrac{5}{25}\)

\(.....................\)

\(24< 25\Leftrightarrow\dfrac{5}{24}>\dfrac{5}{25}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(S>\dfrac{5}{25}+\dfrac{5}{25}+...+\dfrac{5}{25}=\dfrac{5}{25}.5=\dfrac{25}{25}=1\)

Vậy \(S>1\) (Đpcm)

Giải:

Coi giá bán ngày thường là \(100\%\) thì giá bán ngày \(1-6\) là:

\(100\%-10\%=90\%\)

Cửa hàng vẫn còn lãi \(8\%\) tức là cửa hàng bán được:

\(100\%+8\%=108\%\) (giá mua)

Số tiến lãi tính theo giá mua là:

\(100\div90\times108=120\%\) (giá mua)

Vậy ngày thường thì cửa hàng lãi được:

\(120\%-100\%=20\%\)

Đáp số: \(20\%\)

Sửa đề: thì \(ay-bx=0\)

Giải:

Xét hiệu: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-b^2y^2\) \(-2axby\)

\(=a^2y^2-2axby+b^2x^2\)

\(=\left(ay-bx\right)^2=0\Leftrightarrow ay-bx=0\) (Đpcm)

Giải:

Xét hiệu \(A=\left(a^2+b^2+1\right)-\left(ab+a+b\right)\)

\(=a^2+b^2+1-ab-a-b\)

\(\Rightarrow2A=2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\) \(+\left(b^2-2b+1\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2A\ge0\Leftrightarrow A\ge0\)

Vậy \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)