Giải:

Giả sử \(a,b,c,d,e\) là các số nguyên tố và \(d>e\)

Theo đề bài ta có:

\(a=b+c=d-e\) \((*)\)

Từ \((*)\) \(\Leftrightarrow a>2\) nên \(a\) là số nguyên tố lẻ

\(\Leftrightarrow b+c\) và \(d-e\) là hai số lẻ

Do \(b,d\) là các số nguyên tố

\(\Leftrightarrow b,d\) là số lẻ \(\Leftrightarrow c,e\) là số chẵn

Mà \(c,e\) là số nguyên tố \(\Leftrightarrow c=e=2\)

\(\Leftrightarrow a=b+2=d-2\Leftrightarrow d=b+4\)

Vậy ta cần tìm số nguyên tố \(b\) sao cho \(b+2\) và \(b+4\) cũng là số nguyên tố

Câu 1:

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{-8}{11}\Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}=1-\dfrac{-8}{11}\)

Hay \(\dfrac{b-a}{b}=\dfrac{11+8}{11}\left(1\right)\)

Thay \(b-a=190\) vào \(\left(1\right)\) ta được:

\(\dfrac{190}{b}=\dfrac{19}{11}\Leftrightarrow b=110\Leftrightarrow a=-80\)

Vậy phân số \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{-80}{110}\)

Câu 2: Ta có:

\(P=\dfrac{2.3.4-2.3.4.9+2.3.4.11-2.3.4.13}{5.6.7-5.6.7.9+5.6.7.11-5.6.7.13}\)

\(=\dfrac{2.3.4.\left(1-9+11-13\right)}{5.6.7.\left(1-9+11-13\right)}\)

\(=\dfrac{2.3.4}{5.6.7}=\dfrac{4}{35}\)

Vậy \(P=\dfrac{4}{35}\)

Câu 3:

\(S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{20}}\)

\(\Rightarrow2S=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{20}}\right)\)

\(=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{19}}\)

Do đó \(2S-S=1-\dfrac{1}{2^{20}}\) Hay:

\(S=1-\dfrac{1}{2^{20}}< 1\) (Đpcm)

Câu 1: Giải:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\)

Đặt \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2k\\b=3k\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(ƯCLN\left(a,b\right)=13\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2k;3k\right)=13\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2;3\right).k=13\Rightarrow k=13\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2k\\b=3k\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2.13=26\\b=3.13=39\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{26}{39}\)

Vậy phân số cần tìm \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{26}{39}\)

Giải:

Ta có: \(\left(2x+y\right)⋮9\Leftrightarrow5\left(2x+y\right)⋮9\)

\(\Leftrightarrow\left(10x+5y\right)⋮9.\) Do \(9y⋮9\) nên:

\(\left(10x+5y+9y\right)⋮9\Leftrightarrow\left(10x+14y\right)⋮9\)

\(\Leftrightarrow2\left(5x+7y\right)⋮9.\) Mà \(\left(2;9\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(5x+7y\right)⋮9\)

Vậy \(\left(2x+y\right)⋮9\Leftrightarrow\left(5x+7y\right)⋮9\) (Đpcm)

Giải:

Ta có:

Do \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a>5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(0< a< b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Hay \(\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}>\dfrac{2}{10}\Leftrightarrow a< 10\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Leftrightarrow a\in\left\{6;7;8;9\right\}\)

- Với \(a=6\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow b=30\)

- Với \(a=7\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{35}\Leftrightarrow b=17,5\) (loại)

- Với \(a=8\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{40}\Leftrightarrow b\approx13,3\) (loại)

- Với \(a=9\) thì \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{45}\Leftrightarrow b=11,25\) (loại)

Vậy chỉ có 1 cách viết là \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\)

Giải:

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{-8}{11}\left(1\right)\Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}=1-\dfrac{-8}{11}\)

Hay \(\dfrac{b-a}{b}=\dfrac{11+8}{11}=\dfrac{19}{11}\left(2\right)\)

Thay \(b-a=190\) vào \(\left(2\right)\) ta được:

\(\dfrac{190}{b}=\dfrac{19}{11}\Leftrightarrow190.11=19b\Leftrightarrow b=110\)

Thay \(b=110\) vào \(\left(1\right)\) ta được:

\(\dfrac{a}{110}=\dfrac{-8}{11}\Leftrightarrow11a=-8.110\Leftrightarrow a=-80\)

Vậy phân số \(\dfrac{a}{b}\) cần tìm là \(\dfrac{-80}{110}\)

Giải:

Ta có: \(S=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}\)

\(=\dfrac{1}{5}+\left(\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}\right)\) \(+\left(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}\right)\)

Dễ thấy:

\(\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}< \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}< \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{20}\)

\(\Rightarrow S< \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(S< \dfrac{1}{2}\) (Đpcm)