Giải:

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Giải:

Ta có: \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)^3-a^3\right]-\left(b^3+c^3\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)a+a^2\right]-\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(3a^2+3ab+3bc+3ca\right)\)

\(=3\left(b+c\right)\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\) (Đpcm)

Giải:

Gọi số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng giêng lần lượt là \(x,y\) (chi tiết máy). ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x,y< 720\\x,y\in N\end{matrix}\right.\)

Trong tháng 2:

- Tổ 1 sản xuất được \(1,15x\) (chi tiết máy)

- Tổ 2 sản xuất được \(1,12y\) (chi tiết máy)

\(\Rightarrow\) Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=720\\1,15x+1,12y=819\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x=420\\y=300\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy trong tháng giêng, tổ 1 và tổ 2 sản xuất được 420 và 300 chi tiết máy.

Giải:

Gọi số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm). ĐK: \(x>0\)

Nhưng thực tế tổ đã làm được \(x+13\) (sản phẩm)

Vậy: Thời gian tổ làm theo kế hoạch là \(\dfrac{x}{50}\) (ngày)

Thời gian tổ làm thực tế là \(\dfrac{x+13}{57}\) (ngày)

Vì tổ hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{50}=\dfrac{x+13}{57}+1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{50}=\dfrac{x+70}{57}\)

\(\Leftrightarrow57x=50x+3500\Leftrightarrow7x=3500\)

\(\Leftrightarrow x=500\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch là 500 (sản phẩm)