= \(\frac{60}{6}-\frac{9}{6}=\frac{51}{6}\)

Đặt x + 1/x = y

=> x² + 1/x² = y² - 2

pt đã cho trở thành: 8(y² - 2) - 34y + 51 = 0

<=> 8y² - 34y + 35 = 0

<=> y² - 17/4y + 35/8 = 0

<=> (y - 5/2)(y - 7/4) = 0

<=> y - 5/2 = 0 hoặc y - 7/4 = 0

<=> y = 5/2 hoặc y = 7/4

+) y = 5/2 thì x + 1/x = 5/2

<=> x^2 - 5/2x + 1 = 0

<=> x = 2 hoặc x = 1/2 = 0,5

+) y = 7/4 thì x + 1/x = 7/4

<=> x^2 - 7/4x + 1 = 0

<=> (x - 7/8)^2 + 15/64 = 0, vô nghiệm

Vậy nghiệm không nguyên của phương trình đã cho là 0,5

Áp dụng bđt a² + b² + c² \(\ge\) ab + bc + ca ta co:

3(a² + b² + c²) \(\ge\) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² = 1

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{3}=\frac{1}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Trên AB lấy K sao cho AN = NK

Lại có: AD = DC (gt)

=> DN là đường trung bình của tam giác ACK

=> DN // CK hay EN // CK

Tam giác BNE có: EN // CK

=> BC/BE = BK/BN ( định lí Ta-let)

=> BC/BC+CE = BK/KN

=> \(\frac{BC}{BC+\frac{1}{2}BC}\) = BK/KN = 2/3

hay NK = 1/2 BK = AN

Mà: NK + BK + AN = AB => AB = 4AN (đpcm)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

P = \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}=1\)

Dau "=" xay ra khi x = y = z

360 độ

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:

\(B=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2.3=8\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Đk: x khác 3; -3 và -7/2

Từ đề suy ra:

13/(x-3)(2x+7) + 1/2x+7 - 6/(x-3)(x+3) = 0

<=> \(\frac{13\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+3\right)-6\left(2x+7\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(2x+7\right)}=0\)

<=> 13(x+3) + (x-3)(x+3) + 6(2x+7) = 0

<=> 13x + 39 + x² - 9 + 12x + 42 = 0

<=> x² + 25x + 72 = 0

<=> (x + 25/2)² = 337/4

<=> \(\left[\begin{matrix}x+\frac{25}{2}=\sqrt{\frac{337}{4}}\\x+\frac{25}{2}=-\sqrt{\frac{337}{4}}\end{matrix}\right.\)<=> \(\left[\begin{matrix}x=\frac{-25+\sqrt{337}}{2}\\x=\frac{25-\sqrt{337}}{2}\end{matrix}\right.\)(TM)

Vây ...

3) t/g ABD đều => DAB = 60^o (t/c tam giác đều)

t/g ACE đều => EAC = 60^o (t/c tam giác đều)

Có: DAB + BAC = EAC + BAC = 60^o + BAC

=> DAC = BAE

T/g DAC = t/g BAE (c.g.c)

=> DCA = BEA (2 góc t/ư)

T/g MCE có: MCE + MEC + EMC = 180^o ( tổng 3 góc trong tam giác)

=> ACE + DAC + MEC + EMC = 180^o

=> 60^o + BEA + MEC + EMC = 180^o

=> 60^o + 60^o + EMC = 180^o

=> EMC = 60^o

Góc BMC kề bù với EMC nên BMC = 120^o

(a³+b³)²=(a²+b²)³

<=> a⁶+b⁶+2a³b³=a⁶+b⁶+3a²b²(a²+b²)

<=> 2a³b³=3a²b²(a²+b²)

<=> 2ab = 3(a²+b²)

<=> 3(a²+b²)-2ab=0

<=> 2(a²+b²)+(a-b)²=0

<=> a=b=0, mâu thuẫn với đề

=> ...