Ta có hình vẽ:

Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

AM = MD (cách vẽ)

AMB = DMC (đối đỉnh)

BM = MC (gt)

Do đó, \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c.g.c\right)\)

=> BAM = MDC (2 góc tương ứng); AB = CD (2 cạnh tương ứng)

Mà AB < AC (gt) nên CD < AC

\(\Delta ACD\) có CD < AC => CAD < ADC (góc đối diện với cạnh nhỏ hơn thì nhỏ hơn)

=> MAC < BAM

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{y-2x+4z}{2x}=\frac{z-2y+4x}{2y}=\frac{x-2z+4y}{2z}=\)\(=\frac{\left(y-2x+4z\right)+\left(z-2y+4x\right)+\left(x-2z+4y\right)}{2x+2y+2z}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2\left(y-2x+4z\right)=6x\\2\left(z-2y+4x\right)=6y\\2\left(x-2z+4y\right)=6z\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y-2x+4z=3x\\z-2y+4x=3y\\x-2z+4y=3z\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y+4z=5x\\z+4x=5y\\x+4y=5z\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(2+\frac{x}{2y}\right)\left(2+\frac{y}{2z}\right)\left(2+\frac{z}{2x}\right)\)

\(P=\frac{4y+x}{2y}.\frac{4z+y}{2z}.\frac{4x+z}{2x}=\frac{5z}{2y}.\frac{5x}{2z}.\frac{5y}{2x}=\frac{125}{8}\)

Hệ có nghiệm duy nhất: \(\left(\frac{3m+1}{m+1};\frac{m-1}{m+1}\right)\) khi \(m\ne\pm1\)

Lúc này ta có: \(xy=\frac{\left(3m+1\right)\left(m-1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2+m-3m-1}{\left(m+1\right)^2}\)

\(=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}=\frac{4m^2-\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=\)\(\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-1\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Áp dụng liên tiếp bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:

A = \(\left(xyz+1\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\)\(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=\left(xy+\frac{y}{x}\right)+\left(yz+\frac{z}{y}\right)+\)\(\left(xz+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(\ge2\sqrt{xy.\frac{y}{x}}+2\sqrt{yz.\frac{z}{y}}+2\sqrt{xz.\frac{x}{z}}+\)\(+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(A\ge2y+2z+2x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(=x+y+z+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

\(A\ge x+y+z+2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\)\(2\sqrt{z.\frac{1}{z}}=x+y+z+2.3=x+y+z+6\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Có: AB // CE ( cùng vuông góc với BC)

=> BAD = CED (so le trong)

= DAC

=> t/g ACE cân tại C => AC = CE

T/g ABC vuông tại B => AC > AB (trong t/g vuông cạnh huyền lớn nhất)

=> CE > AB (1)

ADC là góc ngoài của t/g ABD => ADC > ABD = 90^o

T/g ADC có ADC tù => AC > AD

hay CD > AD

Mà DE > CD do t/g DCE vuông tại C (gt)

=> DE > AD (2)

Từ D kẻ DH _|_ AC

T/g ABD = t/g AHD ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> BD = DH (2 cạnh t/ư)

T/g DHC vuông tại H => DC > DH (...)

hay DC > BD (3)

Từ (1);(2);(3) => Chu vi t/g ECD > chi vi t/g ABD (ĐPCM)

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:

\(\left(\frac{1}{\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x-3}\right)+\left(\frac{4}{\sqrt{y-2}}+\sqrt{y-2}\right)\)\(+\left(\frac{16}{\sqrt{3z-1}}+\sqrt{3z-1}\right)\ge\)\(2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2x-3}}.\sqrt{2x-3}}+2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-2}}.\sqrt{y-2}}\)\(+2\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3z-1}}.\sqrt{3z-1}}=2.1+2.2+2.4=14\)

Dau "=" xay ra khi \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\\\frac{4}{\sqrt{y-2}}=\sqrt{y-2}\\\frac{16}{\sqrt{3z-1}}=\sqrt{3z-1}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2x-3=1\\y-2=4\\3z-1=16\end{matrix}\right.\)=> \(\left\{\begin{matrix}x=1\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{matrix}\right.\) (không TM z nguyên dương)

Vay ...

Đk: ab khác 0

A >= 2ab/ab = 2

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Bài toán có thể ngắn gọn hơn :)

a) Có: AM // ND (gt)

AN // MD (gt)

=> ND = AM, AN = MD (tính chất đoạn chắn) (đpcm)

b) như kia đc r`

c) t/g AIM = DIN (g.c.g)

=> AI = ID (2 cạnh t/ư)

T/g ENA = t/g BMD (c.g.c)

=> EA = BD (2 cạnh t/ư)

T/g EAI = t/g BDI (c.g.c)

=> EIA = BID (2 góc t/ư)

Mà: BID + AIB = 180^o ( kề bù)

=> EIA + AIB = 180^o

= EIB

=> E,I,B thẳng hàng (đpcm)

Hình tự vẽ. 
Ta có AD = AC (GT) => tam giác ADC cân tại A.
Trên tam giác ADC có MD = MC (M trung điểm DC)
=> AM là đường trung tuyến của tam giác ADC 
Vậy AM cùng là tia phân giác của góc DAC.
* + Mặt khác AM là đường cao vuông góc với DC.
 + BH vuông góc DC (GT)
=> BH // AM (cùng vuông góc với DC).

29-x/21 + 27-x/23 + 25-x/25 + 23-x/27 = -4

<=> (29-x/21 + 1) + (27-x/23 + 1) + (25-x/25 + 1) + (23-x/27 + 1) = -4 + 4

<=> 50-x/21 + 50-x/23 + 50-x/25 + 50-x/27 = 0

<=> (50-x)(1/21 + 1/23 + 1/25 + 1/27) = 0

Mà 1/21 + 1/23 + 1/25 + 1/27 > 0

Nên 50-x=0 <=> x=50

Vậy ...