\(\frac{1}{x\left(x-1\right)}+\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{3}{4}\)(ĐKXĐ:\(x\ne0;1;-1;-2\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)+x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+2x+2+x^2-x+2x-2+x^2-x}{\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]\left[x\left(x+1\right)\right]}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2+3x}{\left(x^2-x+2x-2\right)x\left(x+1\right)}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{x^2+x-2}=\frac{3}{4}\)

=> x² + x - 2 = 4

=> x² + x - 6 = 0

=> \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)

Pt có nghiệm nhỏ nhất khi \(x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}\)\(\Leftrightarrow x=-3\)

+ x² < 1 ta có: 1 - x² + |x| = 1

=> |x| - x² = 0

=> |x| - |x|.|x| = 0

=> |x|.(1 - |x|) = 0

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}\left|x\right|=0\\1-\left|x\right|=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

+ x² \(\ge\) 1, ta có: x² - 1 + |x| = 1

=> x² + |x| - 2 = 0

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x^2+x-2=0\\x^2-x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\\x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=-2\\x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\) . Ta có: x = 1 và x = -1 thỏa mãn
Vậy ...

\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+1}\)(đkxđ: \(x\ne1;2;-1;-2\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{\left(x+1\right)+\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-x-2x+2}=\frac{2x+3}{x^2+x+2x+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-3x+2}=\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\)

<=> (2x - 3)(x² + 3x + 2) = (2x + 3)(x² - 3x + 2)

<=> 2x³ + 6x² + 4x - 3x² - 9x - 6 = 2x³ - 6x² + 4x + 3x² - 9x + 6

<=> 3x² - 6 = -3x² + 6

<=> 3x² + 3x² = 6 + 6

<=> 6x² = 12 <=> x² = 2

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy ...

Đặt a = x² - 3x + 3

pt đã cho trở thành: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}=\frac{6}{a+2}\left(đkxđ:a;a+1;a+2\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1+a}{a\left(a+1\right)}=\frac{6}{a+2}\)\(\Leftrightarrow\frac{2a+1}{a\left(a+1\right)}=\frac{6}{a+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)\left(a+2\right)=6a\left(a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+a+4a+2-6a^2-6a=0\)

\(\Leftrightarrow-4a^2-a+2=0\)

\(\Leftrightarrow4a^2+a-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^2-2.2a.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{33}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{33}{16}\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}2a-\frac{1}{4}=\sqrt{\frac{33}{16}}\\2a-\frac{1}{4}=-\sqrt{\frac{33}{16}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}a=\frac{1+\sqrt{33}}{8}\\a=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thay lần lượt các giá trị của a vào a = x² - 3x + 3 là ra

Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

TT: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(\le\frac{1}{a+b+c}.\frac{c+a+b}{abc}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

P(0) = a.0² + b.0 + c = m² (m \(\in Z\))

=> P(0) = c = m²

P(1) = a.1² + b.1 + c = k² (k \(\in Z\))

=> a + b = k² - c = k² - m² là số nguyên (*)

P(2) = a.2² + b.2 + c = n² (\(n\in Z\))

=> 4a + 2b + m² = n²

=> 4a + 2b = n² - m² là số nguyên (1)

Từ (1) và (*) => 4a + 2b - 2.(a + b) nguyên

=> 2a nguyên => a nguyên

Kết hợp với (*) => b nguyên

Từ (1) => n² - m² chẵn (2)

=> (n - m)(n + m) chẵn

Mà n - m và n + m luôn cùng tính chẵn lẻ \(\forall m;n\in Z\)

Kết hợp với (2) \(\Rightarrow\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮4\)

hay n² - m² chia hết cho 4

Kết hợp với (1) => \(2b⋮4\)

=> b chia hết cho 2 => b chẵn

Ta có đpcm

+) k = 0 (TM đề bài)

+) k > 0

Xét dãy các bội của 189 gồm 189¹; 189²; 189³; ...; \(189^{10^5+1}\)

Ta đã biết 1 số tự nhiên khi chia cho 10⁵ chỉ có thể có 10⁵ loại số dư (0;1;2;...;10⁵-1) mà dãy trên gồm 10⁵ + 1 số nên có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 10⁵

Giả sử 2 số đó là 189^m và 189ⁿ trong đó m > n; m;n\(\in\)N*

\(\Rightarrow189^m-189^n⋮10^5\)

\(\Rightarrow189^n\left(189^{m-n}-1\right)⋮10^5\)

Mà (189ⁿ;10⁵)=1 do (189;10⁵)=1 nên 189^m-n - 1 \(⋮10^5\)

Ta có đpcm

(x²+1)²+3x(x²+1)+2x²=0

<=> x⁴+1+2x²+3x³+3x+2x²=0

<=> x⁴+3x³+4x²+3x+1=0

<=> x⁴+x³+2x³+2x²+2x²+2x+x+1=0

<=> (x+1)(x³+2x²+2x+1)=0

<=> (x+1)(x³+x²+x²+x+x+1)=0

<=> (x+1)²(x²+x+1)=0

<=> \(\left(x+1\right)^2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]=0\)

Mà \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)

=> x + 1 = 0

=> x = -1

Vậy ...

\(P=\frac{25}{x+5}-\frac{1}{x-2}=\frac{25}{x+5}-\frac{-1}{-\left(x-2\right)}=\frac{25}{x+5}+\frac{1}{2-x}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(P=\frac{5^2}{x+5}+\frac{1^2}{2-x}\ge\frac{\left(5+1\right)^2}{x+5+2-x}=\frac{6^2}{7}=\frac{36}{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{5}{x+5}=\frac{1}{2-x}\)\(\Leftrightarrow5\left(2-x\right)=x+5\)

\(\Leftrightarrow10-5x=x+5\Leftrightarrow5=6x\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}\left(TM\right)\)

Áp dụng bđt |a| + |b| \(\ge\) |a+b| ta có:

\(\left|x+3\right|+\left|x-2\right|=\left|x+3\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x+3+2-x\right|\)

\(\ge\left|5\right|=5\)

\(\Rightarrow\left|x+3\right|+\left|x\right|+\left|x-2\right|\ge5\), mâu thuẫn với đề

=> pt vô nghiệm