Có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\) (NHân cả hai vế vs a+b+c)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)

=> đpcm

a) Xét ΔANM và ΔCNP có:

AN=CN(gt)

\(\widehat{ANM}=\widehat{CNP}\left(đđ\right)\)

NM=NP(gt)

=> ΔANM=ΔCNP(c.g.c)

=> AM=PC

\(\widehat{NAM}=\widehat{NCP}\) . Mà hai góc này ở vị trí sole trong

=> AB//CP

CÓ:\(AM=\frac{1}{2}AB\left(gt\right)\) . mà AM=CP(cmt)

=> \(CP=\frac{AB}{2}\)

b) CÓ: \(CP=\frac{AB}{2}\left(cmt\right)\)

Mà: \(BM=\frac{AB}{2}\left(gt\right)\)

=> \(CP=BM\)

Xét ΔBMC và ΔPCM có:

BM=CP(cmt)

\(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\) ( sole trong do CP//AB)

MC:cạnh chung

=> ΔBMC=ΔPCM(c.g.c)

=> \(\widehat{BCM}=\widehat{PMC}\) . Mà hai góc này ở vị trí sole trong

=> MN//BC

Xét ΔABC có: NA=NC(gt) ; MA=MB(gt)

=>MN là đường trung bình

=> \(MN=\frac{BC}{2}\)

a) Vì ΔABC cân tại A(gt)

=>\(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}\)

Mà: BD, CE là tia phân giác của \(\widehat{ABC};\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

=> \(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\widehat{B_2}+\widehat{B_1}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔABC cân tại A(gt)

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=\frac{180^o-80}{2}=50^o\)

Xét ΔBIC có: \(\widehat{BIC}=180^o-\left(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}\right)=180^o-\widehat{ABC}=180-50=130^o\)

b) Xét ΔBIC có: \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)

=> ΔBIC cân tại I

Theo hình vẽ,  2 lần chiều rộng + 2 m = 10 m

=> 2 lần chiểu rộng = 10 - 2 = 8 m => chiều rộng hình chữ nhật là : 8 : 2 = 4m

Cạnh của hình vuông là: 4 + 10 = 14m

Chu vi hình vuông là: 14 x 4 = 56 (m)

ĐS: 56 m

a) \(x^2-2x+3=\left(x^2-2x+1\right)+2=\left(x-1\right)^2+2\)

Vì: \(\left(x-1\right)^2\ge0,\forall x\)

=> \(\left(x-1\right)^2+2>0,\forall x\)

=>đpcm

b) \(x^2+7x+13=\left(x^2+7x+\frac{49}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì: \(\left(x+\frac{7}{2}\right)^2\ge0,\forall x\)

=> \(\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0,\forall x\)

=>đpcm

c) \(x-x^2-1=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

Vì: \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0,\forall x\)

=> \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}< 0,\forall x\)

=>đpcm

n²-m²=(n²-1)-(m²-1)=(n-1)(n+1)-(m-1)(m+1)

vì m là các số nguyên tố >3=>m là các số lẻ

=>m-1 và m+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=>(m-1)(m+1) chia hết cho 8

xét m=3q+1=>m-1=3q=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

xét m=3q+2=>m+1=3q+3=3(q+1)=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

vì (3;8)=1=>(m-1)(m+1) chia hết cho 24

vì n là các số nguyên tố >3=>n là các số lẻ

=>n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=>(n-1)(n+1) chia hết cho 8

xét n=3k+1=>n-1=3k=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

xét n=3k+2=>n+1=3k+3=3(k+1)=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

vì (3;8)=1=>(n-1)(n+1) chia hết cho 24

=>(n²-1)-(m²-1) chia hết cho 24

=>n²-m² chia hết cho 24

=>đpcm

\(x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\x-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)

a) \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x\left(ĐK:x\ge1\right)\)

Đặt: \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{1-\frac{1}{x}}=b\left(b\ge0\right)\)

Ta có: \(a+b=x\Rightarrow b=x-a\)

Lại có: \(a^2-b^2=x-\frac{1}{x}-1+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x=x-1\)

\(\Leftrightarrow a-b=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow a-x+a=1-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow2a=1+x-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow2x=1+a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=0\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

Với \(a=1\) , ta có:

\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=1\)

\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=x\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\x-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot\left(tm\right)\\x=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\left(ktm\right)\end{array}\right.\)

Vậy \(x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) là nghiệm của pt đã cho

b) \(7\sqrt{x^3-1}=2x^2+5x-1\left(ĐK:x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow7\sqrt{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=2\left(x^2+x+1\right)+3\left(x-1\right)\)

Đặt: \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{x^2+x+1}=b\left(b\ge0\right)\)

Khi đó ta có: \(7ab=2b^2+3a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3a^2-6ab\right)-\left(ab-2b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3a\left(a-2b\right)-b\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-2b=0\\3a-b=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=2b\\3a=b\end{array}\right.\)

Với: \(a=2b\), ta có:

\(\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow x-1=4\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+4=x-1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+3x+5=0\) (vô nghiệm)

Với: \(3a=b\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow9x-9=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-4=\sqrt{6}\\x-4=-\sqrt{6}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4+\sqrt{6}\left(tm\right)\\x=4-\sqrt{6}\left(ktm\right)\end{array}\right.\)

Vậy \(x=4+\sqrt{6}\) là nghiệm của pt đã cho

Có: \(B=\frac{a+b}{a-b}\)

\(\Rightarrow B^2=\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2=\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}\)

Thay \(a^2+b^2=9ab\), vào bt trên ta đc:

\(B^2=\frac{9ab+2ab}{9ab-2ab}=\frac{11ab}{7ab}=\frac{11}{7}\)

=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}B=\frac{11}{7}\\B=-\frac{11}{7}\end{array}\right.\)

\(x^2-2x-5+2\sqrt{5}\)

\(=\left(x^2-5\right)-\left(2x-2\sqrt{5}\right)\)

\(=\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)-2\left(x-\sqrt{5}\right)\)

\(=\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}-2\right)\)