Ta có \(m=1-x^2\le1\) . Vậy ta xét các khoảng giá trị của m :

+ Nếu m = 1 thì \(x=0\) thỏa mãn nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(0\le m< 1\) thì \(1-m>0\) , vậy lúc đó pt có hai nghiệm

\(x=\pm\sqrt{1-m}\)

+ Nếu \(m=0\) thì \(x=\pm1\)

+ Nếu \(m< 0\) thì \(x^2=1+m\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{1+m}\) luôn có hai nghiệm.

Vậy m = 1 thỏa mãn đề bài.

Gọi \(M\left(0;y\right)\) thì ta có :

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\) ; \(\overrightarrow{AM}=\left(-1;y-2\right)\)

Để A,B,M thẳng hàng thì \(\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AM}\) , tức là :

\(\begin{cases}k.\left(-1\right)=-3\\k.\left(y-2\right)=4\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}k=3\\y=\frac{10}{3}\end{cases}\)

Vậy để A,B,M thẳng hàng thì \(M\left(0;\frac{10}{3}\right)\)

b/ Gọi \(A\left(\frac{1}{m-2};0\right)\) và \(B\left(0;\frac{1}{m-1}\right)\) là hai điểm thuộc (d)

và A,B lần lượt nằm trên Ox và Oy

Khi đó \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\)

hay \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{\left(m-1\right)^2}+\frac{1}{\left(m-2\right)^2}\)

Tới đây bạn tìm GTNN của \(\frac{1}{h^2}\) rồi suy ra GTLN của \(h\) nhé :)

a/ Gọi điểm cố định đó là \(N\left(x_0;y_0\right)\) .

Vì (d) đi qua N nên : \(\left(m-2\right)x_0+\left(m-1\right)y_0-1=0\Leftrightarrow m\left(x_0+y_0\right)-\left(2x_0+y_0+1\right)=0\)

Để (d) luôn đi qua N với mọi m thì \(\begin{cases}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\y_0=1\end{cases}\) . Vậy điểm cố định đó là N(-1;1)

\(f\left(x\right)=2x\left(5-3x\right)=\frac{2}{3}.3x.\left(5-3x\right)\)

Tới đây, ta có thể áp dụng kết luận sau : Cho hai số a,b không âm. Nếu a+b có tổng không đổi thì tích a.b đạt giá trị lớn nhất khi a = b .
Áp dụng với a= 3x , b = 5-3x

Rõ ràng ta thấy a+b = 5 không đổi, vậy tích a.b = 3x(5-3x) đạt giá trị lớn nhất khi a = b , tức là 3x = 5-3x <=> x = 5/6

Vậy : min f(x) = min f(5/6) = 25/6

Cách khác : \(f\left(x\right)=2x\left(5-3x\right)=-6x^2+10x=-6\left(x-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{25}{6}\le\frac{25}{6}\)

Vậy min f(x) = 25/6 khi x = 5/6

Bài này không thể tìm giá trị nhỏ nhất được nhé!

VÌ \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1>0\) nên A luôn xác định

\(A=\frac{-x^2-2x-5}{x^2+2x+2}\Leftrightarrow x^2\left(A+1\right)+2x\left(A+1\right)+\left(2A+5\right)=0\)

Để A tồn tại giá trị nhỏ nhất thì tồn tại giá trị x thỏa mãn min A , vậy thì ta cần tìm điều kiện để phương trình \(x^2\left(A+1\right)+2x\left(A+1\right)+\left(2A+5\right)=0\) có nghiệm.

\(\Delta'=\left(A+1\right)^2-\left(A+1\right)\left(2A+5\right)=-A^2-5A-4\)

\(=-\left(A+1\right)\left(A+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A+1\right)\left(A+4\right)\le0\Leftrightarrow-4\le A\le-1\)

Vậy min A = -4 , tại x = -1

Vì \(x\in N\) và \(5\le x< 10\) nên

\(A=\left\{5;6;7;8;9\right\}\)

\(y=\sqrt{\left(x^2-2x+1\right)+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1

Vậy min y = 2 khi x = 1

Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)

Ta có : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}< \frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}>0\) (luôn đúng)

Vì \(a\ne b\) nên đẳng thức không xảy ra.

Vậy ta có đpcm.

Khí thoát ra là H2 (hidro) chứ không phải Hg (thủy ngân)

\(Mg+2HCl\rightarrow MgCl_2+H_2\)