Ta có : \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{3}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}\)

\(=\frac{3\sqrt{3}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{6}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{4}\)

Đề đúng : Tìm hai số nguyên a,b thỏa mãn : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)

Giải : \(a^2+b^2+1=ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+ab\right)=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy (a;b) = (1;1)

1) \(2x\left(y-z\right)+\left(z-y\right)\left(x+t\right)=2x\left(y-z\right)+\left(y-z\right)\left(-x-t\right)\)

\(=\left(y-z\right)\left(2x-x-t\right)=\left(y-z\right)\left(x-t\right)\)

2) \(\left(2n-1\right)^3-\left(2n-1\right)=\left(2n-1\right)\left[\left(2n-1\right)^2-1\right]\)

\(=\left(2n-1\right)\left(2n-2\right).2n=4n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\)

Vì n(n-1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết  cho 2

Suy ra 4n(n-1)(2n-1) chia hết cho 2.4=8

Ta có : \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\Leftrightarrow8a=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\sqrt{2}\Leftrightarrow8a+\sqrt{2}=4\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow\left(8a+\sqrt{2}\right)^2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\)  \(\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow64a^2+16\sqrt{2}a+2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a=\sqrt{2}\Leftrightarrow4a^2=\sqrt{2}-\sqrt{2}a\)

Đặt \(Y=\sqrt{a^4+a+1}-a^2\) \(\Rightarrow XY=a+1\Leftrightarrow X.\left(-Y\right)=-\left(a+1\right)\) (1)

\(X+\left(-Y\right)=2a^2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}a}{2}=\frac{1-a}{\sqrt{2}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra X và Y là hai nghiệm của phương trình \(t^2+\frac{1-a}{\sqrt{2}}.t-\left(a+1\right)=0\)

Giải phương trình trên được \(t_1=-\sqrt{2}\)  ; \(t_2=-\frac{x+1}{\sqrt{2}}\) 

Suy ra : \(X=\sqrt{2}\) (vì X > 0)

Đặt \(m=a^2+b^2+c^2,m\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\frac{9}{4}=\left(a.\sqrt{1-b^2}+b.\sqrt{1-c^2}+c.\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3-a^2-b^2-c^2\right)\)

\(\Rightarrow m\left(3-m\right)\ge\frac{9}{4}\) \(\Leftrightarrow\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\le0\) mà ta luôn có \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

Do đó \(\left(m-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)

\(\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13\) (ĐKXĐ : \(-1\le x\le7\))

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào vế trái của phương trình : \(\left(1.\sqrt{7-x}+1.\sqrt{x+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(7-x+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\right)^2\le16\Rightarrow\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\le4\) (1)

Xét vế phải của phương trình : \(x^2-6x+13=\left(x^2-6x+9\right)+4=\left(x-3\right)^2+4\ge4\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình ban đầu tương đương với : \(\begin{cases}\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=4\\x^2-6x+13=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=3\) (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

 \(y=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\) (Điều kiện xác định : \(x\ge-100\))

Ta có : \(36=\left(18+\sqrt{x+100}\right)+\left(18-\sqrt{x+100}\right)=\left(\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\right)^3\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\) ; \(b=\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=36\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=36\). Vì \(a+b\in Z^+\) nên a+b \(\in\) Ư(36)

\(\Rightarrow a+b\in\left\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}\)

Giải từng trường hợp , được x = 225 , y = 3 thoả mãn đề bài.

Ta có : \(a+b+c=2016\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\frac{c^2+ac+bc+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c^2+ac+bc+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\) 

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{array}\right.\)

Từ (1) , (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

a) Điều kiện xác định : \(x\ge0;x\ne1\)

\(P=\frac{10\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}-4}-\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+4}+\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}=\frac{10\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\frac{10\sqrt{x}-\left(2x-5\sqrt{x}+3\right)-\left(x+5\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{-3x+10\sqrt{x}-7}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(7-3\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{7-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}\)

b) Ta có : \(P=\frac{7-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}=\frac{-3\left(\sqrt{x}+4\right)+19}{\sqrt{x}+4}=\frac{19}{\sqrt{x}+4}-3>-3\)

c) Theo b) :   \(P=\frac{19}{\sqrt{x}+4}-3\)

Ta có : \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+4\ge4\Leftrightarrow\frac{19}{\sqrt{x}+4}\le\frac{19}{4}\Leftrightarrow\frac{19}{\sqrt{x}+4}-3\le\frac{7}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{7}{4}\) . Dấu "=" xảy ra khi x = 0

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{7}{4}\) , khi x = 0