Xét biểu thức : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)với n > 0

Áp dụng : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}}>2\left(\sqrt{2025}-1\right)=88\) (đpcm)

Đặt \(a=\sqrt{1-x},a\ge0\)  ; \(b=\sqrt{1+x},b\ge0\)

\(\Rightarrow y=\frac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\left(1+x\right)+4\left(1-x\right)}{\sqrt{1+x}.\sqrt{1-x}}=\frac{b^2+4a^2}{ab}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : \(\frac{b^2+4a^2}{ab}\ge\frac{2.\sqrt{b^2.4a^2}}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow b^2=4a^2\Leftrightarrow b=2a\Leftrightarrow\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)

Vậy Min y = 4 \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)

Ta có nhận xét sau :  |x - y| và (x - y) có cùng tính chẵn lẻ 

Mà (x - y) và (x + y) có cùng tính chẵn lẻ  nên |x - y| và (x + y) có cùng tính chẵn lẻ

Do đó |x - y| + |y - z| + |z - x| có cùng tính chẵn lẻ với (x+ y) + (y + z) + (z + x) 

mà  (x+ y) + (y + z) + (z + x) = 2.(x+ y + z) là số chẵn nên |x - y| + |y - z| + |z - x|  là số chẵn . Vậy |x - y| + |y - z| + |z - x|  = 2013 không xảy ra nhé

\(\frac{16}{\sqrt{x-6}}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}+\frac{256}{\sqrt{z-1750}}+\sqrt{x-6}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-1750}=44\) (Điều kiện xác định : \(x>6;y>2;z>1750\))

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-6}+\frac{16}{\sqrt{x-6}}-8\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{z-1750}+\frac{256}{\sqrt{z-1750}}-32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-6\right)-8\sqrt{x-6}+16}{\sqrt{x-6}}+\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(z-1750\right)-32\sqrt{z-1750}+256}{\sqrt{z-1750}}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-6}-4\right)^2}{\sqrt{x-6}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{z-1750}-16\right)^2}{\sqrt{z-1750}}=0\)

Vì \(\frac{\left(\sqrt{x-6}-4\right)^2}{\sqrt{x-6}}\ge0\) , \(\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}\ge0\) , \(\frac{\left(\sqrt{z-1750}-16\right)^2}{\sqrt{z-1750}}\ge0\) với mọi x>6 , y>2 , z>1750 nên phương trình trên tương đương với : 

\(\begin{cases}\frac{\left(\sqrt{x-6}-4\right)^2}{\sqrt{x-6}}=0\\\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}=0\\\frac{\left(\sqrt{z-1750}-16\right)^2}{\sqrt{z-1750}}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(\sqrt{x-6}-4\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-1750}-16\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=22\\y=6\\z=2006\end{cases}\) (TMĐK)

Vậy (x;y;z) = (22;6;2006)

abc chia hết cho 27 => abc chia hết cho 3 và 9 mà chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 => a+b+c chia hết cho 3 và 9 

vậy suy ra bca tổng của b+c+a = a+b+c và cũng chia hết cho 3 và 9 => nếu abc chia hết cho 27 thì bca cũng chia hết cho 27

a)Tu so:

15.8+15.4

=5.3.2.4+5.3.4

=12.10+12.5

=12.15

=>\(\frac{12.15}{12.3}=\frac{12}{12}.\frac{15}{3}=\frac{15}{3}=5\)

Hiệu hai số bằng tổng của 2 số đó thì số bé phải là 0

Số lớn là:19,5+0=19,5

Mà chỗ số bé lớn hơn hiệu thì phải sủa thành số lớn lớn hơn hiệu

Ta có : \(D=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x-3+\frac{5}{2x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : \(D=x+\frac{5}{2x}-3\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}-3=\sqrt{10}-3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x=\frac{5}{2x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Vậy D đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt{10}-3\) tại x = \(\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Điều kiện xác định : \(x\ge0;y\ge0;\sqrt{x}-\sqrt{y}\ne-3\)

Ta có : \(\frac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+3\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Đặt \(x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\) , \(y=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow\begin{cases}x+y=2\\xy=\frac{1}{4}\end{cases}\)

Ta có vế trái : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{x-x\sqrt{y}+y+y\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}=\frac{\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)}\)

Xét tử số : \(\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=2-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{3}{2}\)

Xét mẫu số : \(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{2}\)

Vậy : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1\) hay \(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1\) (đpcm)