Thay `x=0` vào `x*f(x+1)=(x+2)f(x)` ta được:

`0*f(0+1)=(0+2)f(0)`

`0=2f(0)`

Hay: `f(0)=0/2=0`

Suy ra: `x=0` thì `f(x)=0`

Vậy `x=0` là nghiệm của `f(x)`

Thay `x=-1` vào `x*f(x+1)=(x+2)f(x)` ta được:

`(-1)*f(-1+1)=(-1+2)f(-1)`

`(-1)*f(0)=1*f(-1)`

`-f(0)=f(-1)`

Vì: `f(0)=0` do đó: `f(-1)=-0=0`

Suy ra khi `x=-1` thì `f(x)=0`

Vậy `x=-1` là nghiệm của `f(x)` (ĐPCM)

Gọi `3` số tự nhiên liên tiếp đó là: `a,a+1,a+2` với `a\inN`

Tổng của chúng là: `a+(a+1)+(a+2)`

`=a+a+1+a+2=3a+3=3(a+1)`

Vì: `a+1\inN` do đó: `3(a+1)\vdots3`

Gọi `4` số tự nhiên liên tiếp đó là: `a,a+1,a+2,a+3` với `a\inN`

Tổng của chúng là; `a+(a+1)+(a+2)+(a+3)`

`=a+a+1+a+2+a+3`

`=(a+a+a+a)+(1+2+3)`

`=4a+6`

Vì: `a\inN` do đó; `4a\vdots4` mà `6` không chia hết cho `4`

`->4a+6` không chia hết cho `4`

`A=(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2`

`=[(2a)^2+(2b)^2+c^2+2*2a*2b+2*2a*(-c)+2*2b*(-c)]+[(2b)^2+(2c)^2+a^2+2*2b*2c+2*2b*(-a)+2*2c*(-a)]+[(2a)^2+(2c)^2+b^2+2*2a*2c+2*2a*(-b)+2*2c*(-b)]`

`=(4a^2+4b^2+c^2+8ab-4ac-4bc)+(4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ac-4ab)+(4a^2+4c^2+b^2+8ac-4bc-4ba)`

`=(4a^2+a^2+4a^2)+(4b^2+b^2+4b^2)+(4c^2+c^2+4c^2)+(8ab-4ab-4ab)+(8ac-4ac-4ac)+(8bc-4bc-4bc)`

`=9a^2+9b^2+9c^2`

`=9(a^2+b^2+c^2)`

`=9m`

Vậy: `A=9m`

`TH1:x<1` ta được pt:

`-(x-1)-(x-2)-(x-6)=5`

`-x+1-x+2-x+6=5`

`9-3x=5`

`3x=9-5`

`3x=4`

`x=4/3(L)`

`TH2:1<=x<2` ta được pt:

`(x-1)-(x-2)-(x-6)=5`

`x-1-x+2-x+6=5`

`-x+7=5`

`x=7-5`

`x=2(L)`

`TH3:2<=x<6` ta được pt:

`(x-1)+(x-2)-(x-6)=5`

`x-1+x-2-x+6=5`

`x+3=5`

`x=5-3`

`x=2(tm)`

`TH4:x>=6` ta được pt:

`(x-1)+(x-2)+(x-6)=5`

`x-1+x-2+x-6=5`

`3x-9=5`

`3x=5+9`

`3x=14`

`x=14/3(L)`

Vậy: `x=2`

`98^x:98*98^11<=98^15`

`98^x:98^1*98^11<=98^15`

`98^(x-1)*98^11<=98^15`

`98^(x-1+11)<=98^15`

`98^(x+10)<=98^15`

`x+10<=15`

`x<=15-10`

`x<=5`

Vì: `x\inN` và `x\ne0` do đó: `x\in{1;2;3;4;5}`

Vậy: `x\in{1;2;3;4;5}`

`x^2-3x+1>2(x-1)-2(3-x)`

`x^2-3x+1>2x-2-6+2x`

`x^2-3x+1>4x-8`

`x^2-3x+1-4x+8>0`

`x^2-7x+9>0`

`4x^2-28x+36>0`

`(4x^2-28x+49)-13>0`

`(2x-7)^2-13>0`

`(2x-7)^2-(\sqrt{13})^2>0`

`(2x-7-\sqrt{13})(2x-7+\sqrt{13})>0`

`TH1:2x-7-\sqrt{13}>0` và `2x-7+\sqrt{13}>0`

`2x>7+\sqrt{13}` và `2x>7-\sqrt{13}`

`x>(7+\sqrt{13})/2` và `x>(7-\sqrt{13})/2`

`x>(7+\sqrt{13})/2`

`TH2:2x-7-\sqrt{13}<0` và `2x-7+\sqrt{13}<0`

`2x<7+\sqrt{13}` và `2x<7-\sqrt{13}`

`x<(7+\sqrt{13})/2` và `x<(7-\sqrt{13})/2`

`x<(7-\sqrt{13})/2`

Vậy: `x>(7+\sqrt{13})/2` hoặc `x<(7-\sqrt{13})/2`

`x-1<(2x-1)/3-1<2x+4`

Suy ra: `x-1<(2x-1)/3-1` và `(2x-1)/3-1<2x+4`

`3(x-1)<(2x-1)-3` và `(2x-1)-3<3(2x+4)`

`3x-3<2x-1-3` và `2x-1-3<6x+12`

`3x-3<2x-4` và `2x-4<6x+12`

`3x-2x<-4+3` và `6x-2x> -4-12`

`x<-1` và `4x> -16`

`x<-1` và `x> -16/4=-4`

Vậy: `-4<x<-1`

Ta có:

`(a+3b-2)^2=a^2+9b^2+4`

`a^2+(3b)^2+(-2)^2+2*a*3b+2*a*(-2)+2*(3b)*(-2)=a^2+9b^2+4`

`a^2+9b^2+4+6ab-4a-12b=a^2+9b^2+4`

`6ab-4a-12b=0`

`(6ab-12b)-4a=0`

`6b(a-2)-4a+8=8`

`6b(a-2)-4(a-2)=8`

`3b(a-2)-2(a-2)=4`

`(3b-2)(a-2)=4`

Vì: `a,b\inZ^+` do đó: `3b-2,a-2\in Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}`

Mà: `3b-2>=-2` do đó:

`TH1:3b-2=1`

`3b=1+2=3`

`b=3/3=1`

Suy ra: `a-2=4`

`->a=4+2=6`

`TH2:3b-2=-1`

`3b=-1+2=1`

`b=1/3(L)`

`TH3:3b-2=-2`

`3b=-2+2=0`

`b=0/3=0`

Suy ra: `a-2=-2`

`a=-2+2=0`

`TH4:3b-2=2`

`3b=2+2=4`

`b=4/3(L)`

`TH5:3b-2=4`

`3b=4+2=6`

`b=6/3=2`

Suy ra: `a-2=1`

`a=1+2=3`

Vậy: `...`

`1)(x-2)^3+(x+2)^3`

`=(x^3-3*x^2*2+3*x*2^2-2^3)+(x^3+3*x^2*2+3*x*2^2+2^3)`

`=x^3-6x^2+12x-8+x^3+6x^2+12x+8`

`=(x^3+x^3)+(-6x^2+6x^2)+(12x+12x)+(8-8)`

`=2x^3+24x`

`2)(x-1)^3-(x+1)^3`

`=(x^3-3*x^2*1+3*x*1^2-1^3)-(x^3+3*x^2*1+3*x*1^2+1^3)`

`=(x^3-3x^2+3x-1)-(x^3+3x^2+3x+1)`

`=x^3-3x^2+3x-1-x^3-3x^2-3x-1`

`=(x^3-x^3)+(-3x^2-3x^2)+(3x-3x)+(-1-1)`

`=-6x^2-2`

`3)(1-x)^3+(x+3)^3`

`=(1^3-3*1^2*x+3*1*x^2-x^3)+(x^3+3*x^2*3+3*x*3^2+3^3)`

`=(1-3x+3x^2-x^3)+(x^3+9x^2+27x+27)`

`=1-3x+3x^2-x^3+x^3+9x^2+27x+27`

`=(1+27)+(-3x+27x)+(3x^2+9x^2)+(-x^3+x^3)`

`=12x^2+24x+28`

Ta có:

`|x-1|+|x+4|+|x-9|+|x-3|`

`=|-(x-1)|+|x+4|+|-(x-9)|+|x-3|`

`=|1-x|+|x+4|+|9-x|+|x-3|`

`=(|1-x|+|x-3|)+(|x+4|+|9-x|)`

Áp dụng BĐT: `|a|+|b|>=|a+b|` ta được:

`|1-x|+|x-3|>=|1-x+x-3|=|-2|=2`

`|x+4|+|9-x|>=|x+4+9-x|=|13|=13`

Do đó: `|1-x|+|x-3|+|x+4|+|9-x|>=2+13=15`

Hay: `|x-1|+|x+4|+|x-9|+|x-3|>=15` (đpcm)