Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:

\(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ca}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ca}\le\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng bđt cauchy, ta có 

\(\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{b+c}{2a}\ge2.\sqrt{\dfrac{2a}{b+c}\dfrac{b+c}{2a}}=2\)(đpcm)

Dấu ''='' xảy ra <=>2a = b + c

chắc bằng tuổi thôi bạn, ko phải em đâu.Cái này bạn phân tích ngược từ (a+b)(b+c)(c+a)=0 lên là dc nhé.

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2022}\)

hay \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

-Xét a + b = 0 => P = 2022^2021

Bạn xét tương tự với b + c = 0 và c + a = 0 dc P = 2022^2021 nhé

1)<=>3x - 6 = 0 hoặc 7 - 10x = 0

<=>x = 2 hoặc x = 7/10

3)<=> 3x - 2 = 0 hoặc 6x + 7 = 0 hoặc 2x - 9 = 0

<=> x = 2/3 hoặc x = -7/6 hoặc x = 9/2

5)<=> 2x + 1 = 0 (vì x^2 + 2 > 0 với mọi x)

<=> x = -1/2

Vì x + y = 1 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y\\y=1-x\end{matrix}\right.\)

Khi đó, ta có \(\dfrac{x}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}=\dfrac{1-y}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}-\dfrac{1-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=-\dfrac{y-1}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}+\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=-\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{x^2+x+1}\)

\(=-\dfrac{-x^2-x-1+y^2+y+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=\dfrac{\left(y-x\right)\left(y+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=\dfrac{2\left(y-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}\)

Lại có \(\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)=x^2y^2+xy^2+y^2+x^2y+xy+y+x^2+x+1=x^2y^2+xy\left(x+y+1\right)+x^2+y^2+x+y+1=x^2y^2+2xy+x^2+y^2+2=x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2=x^2y^2+3\)

Từ đó, ta có \(P=\dfrac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+3}+\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)

Vậy P = 0

Đây là lần đầu tiên mình biết gõ công thức, thật là một trải nghiệm khó quên