Chứng minh rằng phương trình x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
Bài 3: Phương trình mặt cầu
Luyện tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 83)
Thảo luận (1)
Luyện tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 83)
Viết phương trình của mặt cầu, biết:
a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;
b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) bán kính R có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}\)
b) Gọi là trung điểm của AB nên I(2; 3; 4). Do đó, mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 3; 4) và bán kính \(AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \) nên có phương trình là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 11\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 86)
Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:
A. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4. B. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 16.
C. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 4. D. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMặt cầu S tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có pt trình là:
\(\left[x-\left(-5\right)\right]^2+\left[y-\left(-2\right)\right]^2+\left(z-3\right)^2=4^2\\ \Leftrightarrow\left(x+5\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\)
=> Chọn D
(Trả lời bởi Phong)
Luyện tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 85)
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng ID đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5\;100;623; - 50} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng ID là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5\;100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\) (t là tham số).
Gọi H là vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó, \(IH = R\)
Vì H thuộc đường thẳng ID nên \(H\left( {21 + 5\;100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\)
Ta có: \(IH = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5100t} \right)}^2} + {{\left( {623t} \right)}^2} + {{\left( { - 50t} \right)}^2}} = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26\;400\;629{t^2}} = 4000\)
\( \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78\)
+ Với \(t \approx 0,78\) ta có H(3 999; 520,94; 11), \(\overrightarrow {IH} = \left( {3\;978;485,94; - 39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH cùng hướng, thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.
+ Với \(t \approx - 0,78\) ta có H(-3 999; -450,94; 89), \(\overrightarrow {IH} = \left( { - 3\;978; - 485,94;39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.
Vậy ví trị cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 85)
Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng:
A. 3. B. 9. C. 81. D. \(\sqrt{3}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 86)
Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = {10^2}\)
Do đó, mặt cầu đã cho có tâm I(1; -2; 7) và bán kính \(R = 10\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2}} = \sqrt {45} < R\) nên điểm A nằm trong mặt cầu đã cho.
\(IB = \sqrt {{{\left( {9 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 10 = R\) nên điểm B nằm trên mặt cầu đã cho.
\(IC = \sqrt {{{\left( {9 - 1} \right)}^2} + {{\left( {9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {10 - 7} \right)}^2}} = \sqrt {194} > R\) nên điểm C nằm ngoài mặt cầu đã cho.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 6 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 86)
Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2;
b) (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);
c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) (S) có tâm I(3; -7; 1), bán kính \(R = 2\) có phương trình là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
b) (S) có tâm I và bán kính \(IM = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 + 5} \right)}^2}} = \sqrt {74} \) nên phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 74\).
c) Gọi I là trung điểm của CD nên \(I\left( { - 1; - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Vì mặt cầu (S) có đường kính là CD nên (S) có tâm \(I\left( { - 1; - 1;\frac{1}{2}} \right)\), bán kính \(R = IC = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\).
Do đó, phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 7 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 86)
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian...
Đọc tiếp
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi M(x; y; z).
Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}} = 6\);
\(MB = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2} + {{\left( {8 - z} \right)}^2}} = 7\);
\(MC = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( {9 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}} = 12\);
\(MD = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 15 - y} \right)}^2} + {{\left( {18 - z} \right)}^2}} = 24\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 36\left( 1 \right)\\{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - z} \right)^2} = 49\left( 2 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 144\left( 3 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( { - 15 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} = 576\left( 4 \right)\end{array} \right.\)Trừ vế với vế của (3) và (1) ta có: \({\left( {7 - x} \right)^2} - {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} - {\left( { - 1 - y} \right)^2} = 144 - 36\)
\( \Leftrightarrow - 8x - 20y = - 12 \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 5y}}{2}\left( 5 \right)\).
Trừ vế với vế của (4) và (3) ta có: \({\left( { - 15 - y} \right)^2} - {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} - {\left( {6 - z} \right)^2} = 576 - 144\)
\( \Leftrightarrow 48y - 24z = 0 \Leftrightarrow z = 2y\left( 6 \right)\).
Thay (5) và (6) vào (2) ta có: \({\left( {1 - \frac{{3 - 5y}}{2}} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - 2y} \right)^2} = 49\)
\( \Leftrightarrow 45{y^2} - 170y + 125 = 0 \Leftrightarrow y = 1\) hoặc \(y = \frac{{25}}{9}\).
+ Với \(y = 1\) ta có: \(x = - 1;z = 2\). Khi đó, M(-1; 1; 2). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.
+ Với \(y = \frac{{25}}{9}\) ta có: \(x = - \frac{{49}}{9};z = \frac{{50}}{9}\). Khi đó, \(M\left( {\frac{{ - 49}}{9};\frac{{25}}{9};\frac{{50}}{9}} \right)\). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy điểm M(-1; 1; 2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 86)
Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0
Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.2 - 2.y.1 - 2.z.5 + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 28\).
Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính \(R = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 85)
Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là:
A. (– 2; – 3; 4). B. (2; 3; – 4). C. (2; – 3; – 4). D. (2; – 3; 4).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có mặt cầu (S)
\(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+4\right)^2=16\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left[z-\left(-4\right)\right]^2=16\)
=> Tâm của mặt cầu \(I\left(2;3;-4\right)\)
=> Chọn B
(Trả lời bởi Phong)