Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-1\cdot\left(-3\right)\)

\(=m^2+2m+1+3\\ =m^2+2m+4\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\Delta'=0\\ \Leftrightarrow m^2+2m+4=0\) (1)

\(\Delta'_m=1^2-1\cdot4=1-4=-3\)

Vì \(\Delta'< 0\) nên pt (1) vô nghiệm

Vậy ko có giá trị nào của m để pt đã cho có nghiệm kép

Làm câu 1 nhé :

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+b^6\ge6\sqrt[6]{a^6a^6a^6a^6a^6b^6}=6a^5b\) ( 1 )

Tiếp tục dùng Cô si ta có :

\(a^6+b^6+b^6+b^6+b^6+b^6\ge6\sqrt[6]{a^6b^6b^6b^6b^6b^6}=6ab^5\) ( 2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có :

\(6\left(a^6+b^6\right)\ge6\left(a^5b+ab^5\right)\)

\(\Rightarrow a^6+b^6\ge a^5b+ab^5\)

=>ĐPCM

Câu 2:

Giải:

Ta có: \(A=\dfrac{2x^2+4x+13}{x^2+2x+6}=\dfrac{2\left(x^2+2x+6\right)+1}{x^2+2x+6}=2+\dfrac{1}{x^2+2x+6}\)

\(=2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\)

Vì \(\left(x+1\right)^2+5\ge0\) nên để A lớn nhất thì \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\) lớn nhất thì \(\left(x+1\right)^2+5\) nhỏ nhất

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+5\ge5\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\le\dfrac{1}{5}=0,2\)

\(\Rightarrow A=2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2+5}\le2+0,2=2,2\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(MAX_A=2,2\) khi x = -1

câu 3:

ta có: \(\sqrt{6}< \sqrt{9}\Leftrightarrow\sqrt{6}< 3\Leftrightarrow6+\sqrt{6}< 6+3\Leftrightarrow6+\sqrt{6}< 9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{6+\sqrt{6}}< 3\Leftrightarrow6+\sqrt{6+\sqrt{6}}< 3+6\Leftrightarrow6+\sqrt{6+\sqrt{6}}< 9\Leftrightarrow\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}< 3\)

Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}.1}\le\dfrac{\dfrac{b+c}{a}+1}{2}=\dfrac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) ___(1)___

Tương tự \(\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) __(2)__; \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) __(3)__

Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( vô lí vì trái với giả thuyết bài ra )

Vậy ta có điều phải C/m

F=(n+6)(n+2)(n-4)

n bé nhất => n =4

Bạn xem hướng dẫn ở đây nhé

Câu hỏi của Bùi Thị Hoài - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh , một số lập phương khi chia $7$ chỉ có thể có dư là \(0,1,6\)

Thật vậy: Xét số \(a^3\), có các TH sau:

+) \(a\equiv 0\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 0\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 1\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 2\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 8\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

+) \(a\equiv \pm 3\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 27\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)

Do đó, \(a^3\equiv 0,1,6\pmod 7\) (đpcm)

Mà \(2016k+3=7.288k+3\equiv 3\pmod 7\)

Cho nên , \(2016k+3\) không thể là lập phương của một số nguyên.

Lời giải:

TH1: \(x,y,z\geq 0\)

Ta có: \(2^x+5^y\equiv (-1)^x+(-1)^y\pmod 3\)

\(19^z\equiv 1\pmod 3\Rightarrow (-1)^x+(-1)^y\equiv 1\pmod 3\)

Do đó \(x,y\) cùng lẻ

Vì $y$ lẻ nên \(y\geq 1\Rightarrow 19^z-2^x=5^y\equiv 0\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow (-1)^z-2^x\equiv 0\pmod 5\) \(\Leftrightarrow (-1)^z\equiv 2^x\pmod 5\)

Vì \(x\) lẻ nên xét hai dạng của $x$

\(x=4k+1\Rightarrow 2^x= 2^{4k+1}\equiv 2\pmod 5\)

\(x=4k+3\Rightarrow 2^x=2^{4k+3}\equiv 2^3\equiv 3\pmod 5\)

Do đó, \((-1)^z\equiv 2,3\pmod 5\) \((1)\)

Xét tính chẵn lẻ của \(z\) suy ra \((-1)^z\equiv \pm 1\pmod 5\Rightarrow (1)\) vô lý.

TH2: \(x,y,z< 0\)

Đặt \((x,y,z)=(-a,-b,-c)\Rightarrow a,b,c>0\)

PT tương đương: \(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{5^b}=\frac{1}{19^c}\)

\(\Leftrightarrow 19^c(2^a+5^b)=2^a.5^b\)

\(\Rightarrow 19^c(2^a+5^b)\vdots 2^a\)

Nếu \(a\geq 1\), ta thấy \(19^c,2^a+5^b\) đều lẻ, do đó không thể chia hết cho \(2^a\)

Do đó \(a=0\) (vô lý vì \(a>0\))

TH3: \(x,y,z\) có sự trái dấu

Hai âm một dương, thì hiệu hoặc tổng của hai số có số mũ âm luôn nhỏ hơn số có mũ dương, do đó không thể xảy ra đẳng thức, kéo theo PT vô nghiệm.

Hai dương một âm:

Hiệu hoặc tổng của hai số mũ dương thì luôn là số nguyên, trong khi số có mũ âm (hệ số khác 1) luôn không là số nguyên , kéo theo mâu thuẫn.

Vậy PT vô nghiệm.

Lời giải:

Dễ thấy $x,y$ phải cùng dấu, vì nếu không cùng dấu thì trong hai số $2^x$ hoặc $3^y$ sẽ tồn tại một số nguyên và một số không nguyên, khi đó hiệu sẽ không thể là $1$.

TH1: \(x,y>0\)

Vì \(3^y\equiv 0\pmod 3\Rightarrow 2^x-1\equiv 0\pmod 3\)

Mà \(2^x-1\equiv (-1)^x-1\pmod 3\)

Do đó, $x$ chẵn. Đặt \(x=2k (k\in\mathbb{Z}^+)\)

Ta có \(3^y=2^x-1=(2^k-1)(2^k+1)\). Khi đó tồn tại \(m,n\in\mathbb{N}|\)

\(\left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^m\\ 2^k+1=3^n\end{matrix}\right.(m+n=y)\Rightarrow 3^n-3^m=2\)

Vì \(2\not\vdots 3\Rightarrow \) một trong hai số $m,n$ phải tồn tại một số bằng $0$

Hiển nhiên số bằng $0$ đó là \(m\)

\(\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)

TH2:

Khi đó \(2^x< 1\Leftrightarrow 1+3^y< 1\Leftrightarrow 3^y< 0\) (vô lý với mọi số nguyên $y$)

Do đó TH này vô lý

Ta có cặp nghiệm \((x,y)=(2,1)\)

Bài 2: Gọi vận tốc của cano khi nước yên lặng là \(x\left(km/h\right)\left(x>0\right)\)

Thời gian cano đi và về bằng thời gian người đi bộ đi được 8km và bằng:\(\dfrac{8}{4}=2\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy đi : \(\dfrac{24}{x+4}\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy về: \(\dfrac{24-8}{x-4}=\dfrac{16}{x-4}\left(h\right)\)

Ta có pt: \(\dfrac{24}{x+4}+\dfrac{16}{x-4}=2\Rightarrow24x-96+16x+64=2x^2-32=0\Leftrightarrow20x-x^2=0\Leftrightarrow x\left(20-x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=20\end{matrix}\right.\)

Vì vận tốc của cano > 0 nên x = 20.Vậy vận tốc của cano khi nước yên lặng là 20km/h